定理

## 前言已知,一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ $(a,b,c\in \mathbb{R},a\not = 0)$ 有如下求根公式: $$\Delta = b^2-4ac$$$$x_{1,2}=\frac{- b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$ 当 $\Delta<0$ ......

# 矩阵树定理 > 本文不作为教学向文章。 > > 比较好的文章参考： > > - [矩阵树-定理以及凯莱公式](https://zhuanlan.zhihu.com/p/593934554) > > - [【学习笔记】矩阵树定理（Matrix-Tree）_繁凡さん的博客-CSDN博客](https ......

中国剩余定理(CRT)不能解决模数不互质情况的模线性同余方程组。这是中国剩余定理的原理所决定的。 但当我们的模数不互质时，这个方式显然就寄掉了，因此我们要打破原有的思路，去找一个新的方式解不定方程组，这时我们的扩展中国剩余定理（EXCRT）就出现了 假设我们现在有如下不定方程组 $$ \begin{ ......

# 隐函数定理的几何应用 ## 一、平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程 $$ F(x,y)=0 \tag{1} $$ 确定，它在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某领域上满足隐函数定理的条件，于是在点 $P_0$ 附近所确定的连续可微隐函数 $y=f(x)$ （或 $x=g(y)$）和方程 $( ......

# 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 ## 题目描述 自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有 $16$ 头母猪，如果建了 $3$ 个猪圈， ......

[TOC] # 前置知识： 1.排列组合 2.多步容斥 [前置知识](https://www.cnblogs.com/Keven-He/p/CombinationAndCRT.html "前置知识") # 二项式定理： ## 公式 $(a+b)^n=\sum^{n}_{i=0}C_n^ia^ib^{ ......

一、CAP原则 CAP原则又称CAP定理，指的是在一个分布式系统中， Consistency（一致性）、 Availability（可用性）、Partition tolerance（分区容错性），三者不可得兼。 CAP原则是NOSQL数据库的基石。 分布式系统的CAP理论：理论首先把分布式系统中的三 ......

### 1 (焯冲养pig/板子) [【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪](https://www.luogu.com.cn/problem/P1495 "【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪") 要注意这东西不能用费马小定理, 只能用扩欧. 因为费马小定理的适用条件是模数为质数. ......

~~本学期的~~“数学分析 ~~(不是实验班)~~” 讲了一堆 Approximation theory, 这是怎么绘事呢? **定理 1 (Weierstrass).** 连续函数 $f\in\mathrm C[0,1]$ 可被多项式一致逼近. > 对任意 $\varepsilon>0$ 和 $x ......

# $C^m_n \equiv C^{m/p} _ {n/p} * C^{m \ mod \ p} _ {n \ mod \ p}$ 首先，我们可以知道如下定理 ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/3047794/202306/3047794-2023 ......

## 扩展欧几里得算法 ### 介绍 扩展欧几里得算法，常用来求像 $ax + by = c$ 这样的不定方程的一组可行解 ### 解法 在此之前，我们可以确定 $c$ 一定是 $\gcd(a, b)$ 的倍数。 为什么？我们把原式分解一下 $ax + by$ 分解后，是$\gcd(a, b) \c ......

 ![](https://img2023.cnblogs.com/blog/2702872/202306/2702 ......

题目描述 给定一个长度为 N 的数列，1,2,⋯A1​,A2​,⋯AN​，如果其中一段连续的子序列 ,+1,⋯(≤)Ai​,Ai+1​,⋯Aj​(i≤j) 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [,][i,j] 是 K 倍区间。 你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？ 输入格式 第一行包含两个整 ......

给定下列关于 $x$ 的一元同余方程组： $$ \begin {cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \quad \quad \vdots \\ x \equiv a_k \pmod {m_k} \end {ca ......

# 强化学习基础篇【1】：基础知识点、马尔科夫决策过程、蒙特卡洛策略梯度定理、REINFORCE 算法 # 1.强化学习基础知识点 智能体（agent）：智能体是强化学习算法的主体，它能够根据经验做出主观判断并执行动作，是整个智能系统的核心。 环境（environment）：智能体以外的一切统称为环 ......

整理一下一些有关图论的结论。 以下一般图 $G=(V,E)$，二分图左部点集为 $L$，右部点集为 $R$。 ### 一般图中，最小点覆盖+最大独立集=$|V|$ 考虑到最小点覆盖，最大独立集都可以写成整数规划的形式。 最大独立集：$|V|$ 个 $01$ 变量 $x_i$，$\forall_{(u ......

> 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 该问题出自《孙子算经》，具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出： > 三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。 $2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times ......

## 裴蜀定理 对于任意的整数a、b，都存在一对整数x、y（注意x和y可以是负整数），使得$ax+by = gcd(a,b)$成立。或者可以这样描述：对方程$ax+by = c，(a,b,c∈Z)$，只有满足$gcd(a,b)|c$（即a和b的最大公约数可以整除c），方程才有整数解。 ## 扩展欧几 ......

# 「闲话随笔」卢卡斯定理证明 点击查看目录 > [TOC] 今天看见同桌在求导，于是问他会不会证明卢卡斯定理，他说不知道这玩意。 然后突然发现我也不会 😅 卢卡斯定理： $$ \dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfl ......

# 中国剩余定理 ## 定义 中国剩余定理（CRT）可以求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_{1},n_{2},\dots,n_{k}$ 两两互质） $$ \left\{\begin{matrix} x\equiv a_{1}\pmod{n_{1}}\\ x\equiv a_{2}\pmo ......

# lucas定理 学习笔记 [TOC] ## 介绍 > lucas定理用于解决形如 $C_n^m \mod p (p\in prime)$ 的问题。 设 $n,m$ 用 $p$ 进制来表示为：$(n_an_{a-1}\cdots n_0)_p , (m_am_{a-1}\cdots m_0)_p$ ......

分离平面定理是凸分析和凸优化中一个重要的基础定理 **定义1(分离平面):** 假设$S_1,S_2 \subset E^n$,假设存在一个超平面$H=\{x:p^Tx=\alpha\}$,且使得： $$ \begin{cases} p^Tx \geq(>) \alpha , &\text{ $\f ......

距离上一篇已经四个月了，我来填坑了 上一篇：$浅谈同余2(扩展欧几里得，中国剩余定理，BSGS)$ (https://www.cnblogs.com/xyy-yyds/p/17418472.html) 0x50 扩展BSGS $O(\sqrt n)$ 【模板】扩展 BSGS/exBSGS 题目背景 ......

上一篇：$浅谈同余1(常用定理和乘法逆元)$ (https://www.cnblogs.com/xyy-yyds/p/17418458.html) 下一篇: $浅谈同余3(扩展中国剩余定理，扩展BSGS)$ (https://www.acwing.com/blog/content/34866/) 0 ......

点个赞吧，球球了~ 下一篇:$浅谈同余2(扩展欧几里得，中国剩余定理，BSGS)$ https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/7882318/ $\LaTeX$太多了，分成几个部分0x00 总写(瞎说) 同 ......

## 欧拉定理 内容：若正整数 $a$，$n$，互质，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1 \pmod{n}$。 证明：设 $X_{1}$,$X_{2}$......$X_{\varphi(n)}$ 是 $1\sim n$ 与 $n$ 互质的数。 首先我们来考虑一些数：$aX_{1} ......

### 定义 拉格朗日定理：设 $p$ 为素数，对于模 $p$ 意义下的整系数多项式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0(p\not\mid a_n)$$ 的同余方程 $f(x)\equiv 0\pmod p$ 在模 $p$ 意义下至多有 $n$ 个不同解 ......

Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解（详见 排列组合），但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。 Lucas 定理内容如下：对于质数 p，有 $$\binom{n} ......

以下所有数，如果没有特殊说明，皆指正整数。 一些常识： $\gcd(a+c\times b,b)=\gcd(a,b)$。 $a\times b\equiv a\pmod c,\gcd(a,c)=1\Rightarrow b\equiv 1\pmod c$ $a^b\equiv 1\pmod n\Ri ......

给定 $n$ 组非负整数 $a_i, b_i$，其中 $b_i$ 两两互质，求解关于 $x$ 的方程组的最小非负整数解。 $\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \ ... \ x \ ......