## 前言
已知,一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ $(a,b,c\in \mathbb{R},a\not = 0)$ 有如下求根公式:
$$\Delta = b^2-4ac$$
$$x_{1,2}=\frac{- b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
当 $\Delta<0$ 时,方程无实数根;
当 $\Delta=0$ 时,方程有两个相等的实数根( $x_{1}=x_{2}$ );
当 $\Delta>0$ 时,方程有两个不相等的实数根( $x_{1}\not =x_{2}$ );
那么,当该方程有两个实数根时,这两个根的和,积如何计算?
这就要用到伟大的韦达定理了.
## 定义
当一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ $(a,b,c\in \mathbb{R},a\not = 0)$ 的 $\Delta \ge 0$ 时(记住,只有$\Delta \ge 0$时韦达定理才成立!这是有惨痛经历的!),两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足以下等式:
$$ x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} $$
$$ x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a} $$
## 证明
根据求根公式,
$$x_{1}=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
则
$$x_{1}+x_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$$
$$ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{(-b- \sqrt{b^2-4ac})(-b+ \sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} $$
证毕.