期望-JZTXT

期望

事件

事件\((event)\)，通常用\(E\)来表示。
写法：用大写字母\(A,B,C....\)来表示。

\(A \bigcap B\ A\)和\(B\)同时发生
\(A \bigcup B\ A\)和\(B\)的和减去他们重叠的部分。
\(\overline A\)不在\(A\)处的
\(\Omega\) 全体

不难发现，当一个群体的一个事件为\(A\)，那么\(\Omega\)就等于\(A+\overline A\)

分类
- 可分解性
- 简单：不能再分解
- 复合：由简单事件组成或可分解
- \(A \bigcup B\)
- \(A \bigcap B\)
- \(A-B\)
- \(B-A\)
- \(\overline{ A \bigcup B}\)
- \(\overline{ A \bigcap B}\)
- 关系
  - 互斥：不会同时发生
  - 对立：\(\overline A \bigcap A=\oslash\) 且 \(A+\overline A = \Omega\)
  - 独立：互不影响
  - \(P(B|A)=P(B)\)
  - \(P(A|B)=P(A)\)

概率

概率\((Probability)\)，用\(P\)来表示。用\(P(A)\)表示事件\(A\)发生的概率。
\(A\)发生的概率\((P(A))=A\)发生的次数\(/\)总共次数

计算
- 主观法
- 试验法
  - 假设做实验的次数达到无限次，则这种可能发生的概率
- 贝叶斯
  - 一个色子有6个面，假设前1万次实验都没有投到1，则认为色子投到1的概率低于\(1/6\)

概率例题

1000台电视，正常800台，破损200台。问残次的概率多少？
设\(A=\)任抽一台电视是残缺的
\(P(A)=\)缺残的次数\(/\)总台数\(=200/1000=20\)%

条件概率

在某个条件下事件\(A\)所发生的概率。

\(P(A|B)\)在\(B\)发生的前提下，\(A\)也发生的概率。
- \(P(A|B)= \frac{(P(A \bigcap B))}{P(B)} = \frac{(P(AB))}{P(B)}\)
\(P(B|A)\)在\(A\)发生的前提下，\(B\)也发生的概率。
- \(P(B|A)= \frac{(P(B \bigcap A))}{P(A)} = \frac{(P(AB))}{P(A)}\)

条件概率例题

实验：新种子和旧种子的发芽率

\	新	旧
发芽	90	50
不发芽	10	50

事件\(A:\)任取一颗种子是发芽的
事件\(B:\)任取一颗种子是新的
事件\(C:\)任取一颗种子是旧的

求\(P(B|A)\)和\(P(C|A)\)
答案在最后

这里注意：如果\(P(A)=0\)%，这不代表这件事不可能发生。它只是按照历史记录来计算，不能保证接下来不会发生。

期望

期望\((Expect)\)通常用\(E\)来表示。

有个人要和你玩一个游戏。在1～10中随机选数
\(A=7\) 给你100元
\(\overline A\) 你要给我10元。问你要不要和他玩？
这时候，我们不能只看\(A=7\)的情况，因为，我们不知道在最后你会不会亏。我们需要结合\(P(A)\)和利率来看。

\(P(A)=1/10=10\)%
\(E=100*\frac{1}{10}-10*\frac{9}{10}\)
最后结果等于1，也就是说有盈利。所以，我们可以和这个人玩这游戏。

那么，如果\(A=7\)时，给你90元，结果是否会不一样呢？

答案

\(P(B|A)= \frac{(P(B \bigcap A))}{P(A)} = \frac{(P(AB))}{P(A)}=\frac{90}{140}=\frac{9}{14}\)
\(P(C|A)= \frac{(P(C \bigcap A))}{P(A)} = \frac{(P(AC))}{P(A)}=\frac{50}{140}=\frac{5}{14}\)