Sobolev

## 3 嵌入定理 ### 3.1. Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式 定义 24. (Sobolev共轭指数) 设 $1 \leq p p $$ 定理 25. (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式) 设 $1 \leq p 0$, 使得: $ ......

## 4. Poincare不等式 ### 4.1 $W_{0}^{1, p}(U)$ 定理 34. 设 $1 \leq p 0$, 使得 $$ \left\|u-u_{\Omega}\right\|_{L^{p}(\Omega)} \leqslant C\|\mathrm{D} u\|_{L^{p ......

# Sobolev空间 ## 2.5 延拓 本节我们介绍延拓定理, 很多时候我们需要将一个函数延拓到更好的空间中, 或者更好的区域上. 曾经我们用过零延拓, 但是这样的延拓会丧失掉很多函数的性质, 例如 如果 $u$ 在 $\Omega$ 上是弱可微的, 但是将其零延拓到 $\mathbb{R}^{ ......

# Sobolev空间初探2 ## 2.2 逼近 ### 2.2. 1 局部逼近 现在我们考虑用光滑函数逼近Sobolev 函数, 这里逼近的基本思想就是对函数进行磨光. **引理 10. (局部逼近)** 设 $\Omega_{\varepsilon}=\{x \in \Omega \mid \o ......

## 1. 弱导数 ### 1.1 定义 定义 1. (弱导数) 设 $u \in L_{\mathrm{loc}}^{1}(U), \alpha \in \mathbb{N}^{n}$. 我们说 $u(x)$ 是 $\alpha$ 阶弱可微函数, 如果存 在 $v \in L_{\mathrm{l ......