想说的话写这里。
2023.01.05
证明：\(\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k\sqrt k}<3\)。
偶然发现的逆天证法。
\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k\sqrt k}=1+\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k\sqrt k}<1+\int_1^n\dfrac{\text dk}{k\sqrt k} \]\[\int\dfrac{\text dx}{x\sqrt x}=-2x^{-\frac12} \]令其为 \(g(x)\)。当 \(x>0\) 时有 \(g(x)<0\)。
则 $$1+\int_1^n\dfrac{\text dk}{k\sqrt k}=1+g(n)-g(1)=3-g(n)<3$$
原式得证。