证明：积性函数的和函数仍是积性函数。
建议先看底下的欧拉函数的积性证明，这个证明的很乱。看能不能把一一对应写得更数学抽象严谨一点。
推了两个午自习但是不是很难的式子，用了 \(80\) 分钟是因为人是憨憨。证明不是很严谨。
设算术函数 \(F(x)=\sum _{d|x} f(d)\) ，其中 \(f\) 是积性函数，\(x\perp y\)。求证： \(F\) 是积性函数。
由积性函数的定义可知 \(f(x)f(y)=f(xy)\) ，要求 \(x\perp y.\)
求证： \(F(x)F(y)=F(xy)\) ， 其中 \(x\perp y.\) 即
\[\left[ \sum_{d|x} f(d) \right]\left[ \sum_{d'|y} f(d') \right]=\sum_{d''|xy} f(d'')
\]
原式可化为
\[\sum _{d|x} \sum _{d' |y} f(d)f(d') = \sum _{d''|xy} f(d'')
\]
\[\because x\perp y
\]
\[\therefore \forall d|x \perp \forall d'|y
\]
根据积性函数的性质，原式可化为
\[\sum _{d|x} \sum _{d' |y} f(dd') = \sum _{d''|xy} f(d'')
\]
上式的每一个 \(dd'\) 与 \(d''\) 一一对应。根据多项式的恒等性质，等号两边相当。
\[\therefore {x \perp y} ,F(x)F(y)=F(xy).
\]
就还没完。
下面是一个耗费了我差不多 \(1h\) 构思的式子。
先给出一个我暂且称之为欧拉函数的基本性质的式子，这个很好证明吧。
\[\varphi(m)=m \prod _{i=1} ^r (1-\frac{1}{p_i})
\]
\(m\) 的因数分解是 \(p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_r ^{k_r}\)
证明：欧拉函数是积性函数。
求证： \(x\perp y,x,y\in N^+,x,y\not = 0\) 时有 \(\varphi(x)\varphi(y)=\varphi(xy)\)
令 \(x\) 的质因数分解是 \(p_1^{k_1} \times p_2 ^{k_2} \times \cdots \times p_r^{k_r}\).
令 \(y\) 的质因数分解是 \({p'_1}^{k'_1} \times {p'_2} ^{k'_2} \times \cdots \times {p'_{r'}}^{k'_{r'}}\).
\(\because x\perp y\)
\(\therefore |p\cap p'|=0\)
令序列
\[q_i=\begin{cases}
1-\frac{1}{p_i} & i\leq r\\
1-\frac{1}{p_{i-r}} & Otherwise
\end{cases}\]
也就是 \(q=p+p'\)
显然，\(q\) 中的数两两互不相等。
则原式可化为
\[\left [ x\prod _{i=1} ^r (1-\frac{1}{p_i})\right ]\left [ y\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{{p'}_i})\right ] = xy \prod _{i=1} ^{r+r'} (1-\frac{1}{q_i})
\]
(欧拉函数的基本性质)
\[xy \left [\prod _{i=1} ^r (1-\frac{1}{p_i})\right ]\left [\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{{p'}_i})\right ] = xy \prod _{i=1} ^{r+r'} (1-\frac{1}{q_i})
\]
（乘法交换律）
\[\because x,y>0
\]
\[\therefore xy\not ={0}
\]
则原式可化为
\[\left [\prod _{i=1} ^r (1-\frac{1}{p_i})\right ]\left [\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{{p'}_i})\right ] = \prod _{i=1} ^{r+r'} (1-\frac{1}{q_i})
\]
（等式的基本性质 \(2\)）
展开一下。把等式右边拆一拆。
\[\left [\prod _{i=1} ^r (1-\frac{1}{p_i})\right ]\left [\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{{p'}_i})\right ] = \prod _{i=1} ^{r+r'} (1-\frac{1}{q_i})
\]
等号右边：
\[\prod _{i=1} ^{r+r'} (1-\frac{1}{\frac{1}{q_i}}) = \left[\prod _{i=1} ^{r} (1-\frac{1}{q_i})\right]\cdot\left[\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{q_{i+r}})\right]
\]
注意到 \(q_i=p_i,q_{i+r} = p' _{i}\) ， 则原式可化为
\[\left [\prod _{i=1} ^r (1-\frac{1}{p_i})\right ]\left [\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{{p'}_i})\right ] = \left[\prod _{i=1} ^{r} (1-\frac{1}{p_i})\right]\cdot\left[\prod _{i=1} ^{r'} (1-\frac{1}{p'_i})\right]
\]
（等量代换）
等式两边相等。
所以 \(x\perp y,x,y\in N^+,x,y\not = 0\) 时有 \(\varphi(x)\varphi(y)=\varphi(xy)\)
那么证明就完了。我想说一些其他事情了。
这上面要证明的东西也是我竞赛经常会用到的定理。我的书上面没写所以我怕用起来不踏实就只能自己手推一下。看起来这个不像是初中竞赛要学的东西。至少信息学不见得会讲。
但是这里有一个 \(5\) 个人（当然除了我只凑齐了两个）的小组，我为了跟上他们数论的节奏学的这些。这个小组在星期二，要占用我学校竞赛（其实在那里一般我也就做自己的事情，毕竟我学的难一点）和晚自习（作业回家写，你不想批改我作业我自己批改算了）。所以去那里还是应该 Ok 的
和几个四川省前列的学生在一个小组还是一件值得骄傲的事情。
望批准
上面定理在我们这里的一些使用在我的笔记里面也有，当然这里的定理都是我觉得比较简单我可以手证的。有的像什么扩展欧拉定理之类的奇怪式子只能慢慢来。
推式子还是很有意思的。