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群论

发布时间 2023-08-11 16:38:01作者: exut

定义 1

对于一个非空集合 \(G\) 和某操作 \(*\)， \((G,*)\) 称为一个群，其中 \(*\) 是任意一个二元运算 ， \(G\) 有限称为有限群

性质:

  • 存在单位元 \(e\) 使得 \(\forall g \in G\) 使得 \(g*e=e*g=g\)

  • \(\forall g \in G\) ， $\exists g' \in G $ 使得 \(g*g'=g'*g=e\)， \(g\) 和 \(g'\) 互为逆元记作 \(g^{-1}\)

  • \(\forall g_1,g_2,g_3\)，满足 \(g_1*(g_2*g_3)=(g_1*g_2)*g_3\)，也就是说群有结合律，但注意 不一定有交换律

  • 群内元素运算后仍在群内

单位元是惟一的，因为设存在两个，则这俩运算分别等于其中一个故两个相等

如果 \(a*b=b*a\) 则称为一个交换群或阿贝尔群

一个群的阶就是其集合的元素个数

如果 $\exists H\subseteq G $ 并且 \((H,*)\) 也是群则称 \(H\) 是 \(G\) 的子群

任意群都有 \((e,*)\) 和 \((G,*)\) ，这两个称为平凡子群

定义一个置换是一个从排列 \(1\to n\) 向排列 \(p\) 的映射

\[\begin{Bmatrix} a_1\ a_2...a_n\\ a_{p1}\ a_{p2}...a_{pn} \end{Bmatrix} \]

意思是 把 \(a_i\) 映射到 \(a_{pi}\)

置换支持乘法，两个置换 \(f,g\) 相乘就是先进行 \(f\) 映射再进行 \(g\) 映射

在置换群的作用下，元素存在等价关系。等价关系即满足自反性、对称性、传递性。满足等价关系的元素处于同一个等价类中

置换群的子群同样是一个置换群

循环群:指一个群 \((G,*)\) ，其中 \(G=\{a^m |m\in \mathbb{Z}\}\) 称为一个由 \(a\) 生成的循环群

若运算是乘法，循环群显然是交换群

假设群 \((G, \circ)\) 和群 \((H, \cdot)\) 之间存在双射 \(f: G \rightarrow H\) ，使得 \(f(a)=A\) 和 \(f(b)=B\) ，如果这两个群是同构的，那么 \(a \circ b\) 应对应 \(A \cdot B\) ，即 \(f(a \circ b)=A \cdot B=f(a) \cdot f(b)\) . 该条件必须对 G 中所有的元素 a 和 b 都成立，以上是同构的含义

一个元素在群中的阶就是说最小的 \(k\) 使得 \(g^k=e\) ，\(k\) 就是元素 \(g\) 的阶记作 \(o(g)\)

拉格朗日定理

如果 \(H\) 是 \(G\) 的子群，则 \(|H| \mid |G|\)，中间的杠是整除

原根

首先定义阶是满足同余式 \(a^n \equiv 1 \pmod m\) 的最小的正整数 \(n\) 称作 \(a\) 的阶，也可以说是摸 \(m\) 意义下缩系的乘法群中元素 \(a\) 的阶

记作 \(\delta_m (n)\)

性质:

  • \(a、a^2、a^3....a^{\delta_m (a)}\)

  • 若 \(a^n\equiv 1 \pmod m\) 则 \(\delta_m (a)|n\)

  • 若 \(gcd(a,m)=gcd(b,m)=1\) 则 $\delta_m(ab)=\delta_m(a) \delta_m(b) $ 的充要条件是 \(gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))\)

  • \(\delta_{m}\left(a^{k}\right)=\frac{\delta_{m}(a)}{\left(\delta_{m}(a), k\right)}\)

原根定义: 若 $gcd(g,m)=1 $ 且 $\delta_m(g)=\varphi(m) $ 则称 \(g\) 是模 \(m\) 下的原根

性质:\(g^i \bmod m\) (\(0\lt i \lt m\)) 的结果互不相同

\(g\) 是原根的充要条件是 对于每个 \(\varphi(m)\) 的素因子 \(p\) 都有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not \equiv 1 \pmod m\)

若 \(m\) 有原根，则个数为 \(\varphi(\varphi(m))\) 个

原根存在定理: \(m\) 存在原根当且仅当 \(m=2、4、p^k、2p^k\) 其中\(p\) 为奇素数

循环置换：一类特殊的置换，形如

\[\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m-1}, a_{m} \\ a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{m}, a_{1} \end{array}\right) \]

若两个循环置换无重复元素称这两个循环置换不相交

任何一个置换可以由若干不相交的循环置换乘积

Burnside 引理

设 \(A、B\) 是有限集，\(X\) 为一些 \(A\to B\) 的映射组成集合， \(G\) 是 \(A\) 上的置换群，且 \(X\)中的映射在 \(G\) 的置换作用下封闭

\(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 产生的所有等价类集合(若两个映射置换后相等则在同一个等价类中)

则 \(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|\) 其中 \(X^g=\{x|x\in X,g(x)=x\}\) 也就是在 \(g\) 作用下的不动点集合