定义
莫比乌斯函数：
\[\mu(n) = \begin{cases}
1 ~~~~~~~~~~~~~~\text{(n = 1)} \\
0 ~~~~~~~~~~~~~~\text{(n 存在完全平方因子)} \\
(-1)^ {\omega(n)} ~~\text{(otherwise)}
\end{cases}\]
狄利克雷卷积：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
式子
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\[\sum_{d|n}\mu(d) = [n=1] \]
证明：设 \(n\) 的本质不同质因子为 \(p_1,p_2,...,p_k\)，则选同一个数超过两次 \(\mu = 0\)，每个数只选一次则 \(\sum_{i=0}{n \choose 2i} = \sum_{i=0}{n \choose 2i+1}\)。
从中也可看出 \(\mu\) 是 \(1\) 的逆元。
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\[\sum_{d|n}\phi(d)=n \]
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\[\sum_{d|n}d\mu(\frac{n}{d})=\phi(n) \]
证明：考虑 \(\phi * 1 = Id\)，两边同时乘 \(\mu\) 则有 \(Id * \mu = \phi\)
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$f(n)=\sum_{d|n}g(d) \iff g(n) = \sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) $
证明：\(f = g * 1 \iff f * \mu = g\)。