分拆： 将自然数 \(n\) 写成递降正整数和的表示。
\[n=r_1+r_2+\ldots+r_k \quad (r_1 \ge r_2 \ge \ldots \ge r_k \ge 1)
\]
和式中每个正整数称为一个部分。
分拆数：\(p_n\)。自然数 \(n\) 的分拆方法数。
自 0 开始的分拆数：
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p_n\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 15 | 22 |
k 部分拆数
将 \(n\) 分成恰有 \(k\) 个部分的分拆，称为 \(k\) 部分拆数，记作 \(p(n,k)\)。
显然，\(k\) 部分拆数 \(p(n,k)\) 同时也是下面方程的解数：
\[n-k=y_1+y_2+\ldots+y_k\quad (y_1\ge y_2\ge\ldots\ge y_k\ge 0)
\]
发现 \(p(n,k)\) 可以由以下两部分贡献：
- 可以增加一个 \(1\) 的部分；
- 可以把之前所有的部分加 \(1\)。
因此有和式：
\[p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)
\]
如果列出表格，每个格里的数，等于左上方的数，加上该格向上方数，所在列数个格子中的数。
生成函数
由等比数列求和公式，有：
\[\dfrac{1}{1-x^k}=1 + x^k + x^{2k}+\dots
\]
所以
\[G(x)=\dfrac{1}{1-x}\times\dfrac{1}{1-x^2}\times\dfrac{1}{1-x^3}\times\dots
\]