集合中的多题一解-JZTXT

前言

集合的学习中，有一类题目很多见，就是“已知集合的关系求参数的取值范围的题目”，有时候集合的关系却是以集合的运算形式给出来的，理解和掌握这类等价关系显得非常关键，往往可以快速转化，从而实现多题一解的效果。

$B\subseteq A$ $\Longleftrightarrow$ $B\cap A=B$ $\Longleftrightarrow$ $B\cup A=A$ $\Longleftrightarrow$ $\complement_UA\subseteq \complement_UB$ $\Longleftrightarrow$ $B\cap(\complement_UA)=\varnothing$

典例剖析

已知集合$A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}$，集合$B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}$，若 $B\subseteq A$，求实数$m$的取值范围。

【解析】：由于集合$A$为定集，集合$B$为动集，又因为 $B\subseteq A$，故需要针对集合$B$分类讨论如下：

1、当集合$B=\varnothing$时用不等式表示的集合，其左端点值超过右端点值，则此不等式表示空集。若左端点值不超过右端点值，则其不是空集。，则有$m+1\ge 2m-1$，解得$m\leq 2$；

2、当集合$B\neq\varnothing$时，必须满足三个条件，即 $\left\{\begin{array}{l}{m+1< 2m-1}\\{ -2 \leq m+1}\\{2m-1 \leq7}\end{array}\right.$，解得$2<m\leq 4$；

综上所述：实数$m$的取值范围是$\{m\mid m\leq 4\}$。

已知集合$A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}$，集合$B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}$，若$A\cap B=B$，求实数$m$的取值范围。

解析：由于 $A\cap B=B$ 等价于 $B\subseteq A$ ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

已知集合$A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}$，集合$B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}$，若$A\cup B=A$，求实数$m$的取值范围。

解析：由于 $A\cup B=A$ 等价于 $B\subseteq A$ ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

已知集合$A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}$，集合$B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}$，若$\complement_UA\subseteq \complement_UB$，求实数$m$的取值范围。

解析：由于 $\complement_UA\subseteq \complement_UB$ 等价于 $B\subseteq A$ ，题目转化为上题，其余解答过程同上。

已知集合$A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}$，集合$B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}$，若$B\cap(\complement_UA)=\varnothing$，求实数$m$的取值范围。

解析：由于 $B\cap(\complement_UA)=\varnothing$ 等价于 $B\subseteq A$ ，题目转化为上题，其余解答过程同上。