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群的概念（写的巨慢，未完成）

发布时间 2023-07-27 15:47:45作者: 槛外人Liu

虽然时间很紧但是还是想学一点抽代，每天没有多少时间可以看，写多少算多少吧，慢慢更新，反正是自己的树洞。

群的概念

定义（群）

设G为一个非空集合, \(\star\) 是G上的一个二元运算, 如果满足:

  1. \((a\star b)\star c = a\star (b\star c), \forall a, b, c\in G\).
  2. G中存在一个单位元e, 使得\(\forall a \in G, a\star e=e\star a=a\).
  3. \(\forall a \in G\), 存在a的一个逆元\(a^{-1}\), \(a \star a^{-1}=a^{-1}\star a=e\).

称G为一个群. 如果还满足\(a \star b= b\star a, \forall a, b\in G\), 称G为一个交换群(Abel群).

例子

  1. \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)在加法意义下都是群, 单位元为0, 对于任意的元素a, 逆元为\(-a\).
  2. \(\mathbb{Q}-\{0\}, \mathbb{R}-\{0\}, \mathbb{C}-\{0\}, \mathbb{Q}^{+}, \mathbb{R}^{+}\)在乘法意义下也是群, 单位元为1, 逆元为\(\dfrac{1}{a}\).
  3. 任何一个向量空间都是加法群.
  4. 设\((A, \star), (B, \diamondsuit)\)是群, 定义集合\(A\times B=\{(a, b)|a \in A, b \in B \}\), 定义其上的二元运算为
    \begin{eqnarray}
    (a_{1}, b_{1})(a_{2}, b_{2})=(a_{1}\star a_{2},b_{1}\diamondsuit b_{2})
    \nonumber
    \end{eqnarray}
    容易验证\(A \times B\)也是一个群. 例如我们取\(A= \mathbb{R}, B=\mathbb{R}\), \(A \times B\)就是欧氏空间.

下面给出两个命题, 便于我们讨论单位元和逆元.

命题1

如果集合G在二元运算\(\star\)下是一个群, 那么

  1. 单位元唯一.
  2. 对于G中的任意元素a, 其逆元唯一.
  3. \((a^{-1})^{-1}=a, \forall a \in G\).
  4. \((a\star b)^{-1}=(b^{-1})\star (a^{-1})\)
  5. \(\forall a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n} \in G, a_{1}\star a_{2}\star \ldots \star a_{n}\)的结果不会因括号的改变而变化(广义结合律).