我们定义过离散随机变量的期望：\(E[X]=\sum\limits_{i \geq 1}x_iP(\Lambda_i)\)，其中要求\(\sum\limits_{i \geq 1}|x_i|P(\Lambda_i)<\infty\)。这个要求称为“可积”。要定义连续随机变量的期望，就是要把这个定义推广到随机变量取值不可数的情况。严格地，对于任意一个随机变量的取值\(X(\omega)\)，我们可以用一列上近似\(\overline{X_n}\)和\(\underline{X_n}\)来以二进制小数的形式一位位逼近\(X(w)\)，满足\(\underline{X_n}<X(w) \leq \overline{X_n}\)。那么\(\overline{X_n}\)和\(\underline{X_n}\)都是离散的随机变量，并且它们的极限就是\(X(w)\)，所以连续的随机变量就定义为\(\overline{X_n}\)和\(\underline{X_n}\)的期望的极限（它们必然相等）。即\(E[X]=\lim\limits_{n \to \infty}E[\underline{X_n}]=\lim\limits_{n \to \infty}E[\overline{X_n}]\)。并且我们发现，对于任意的\(\overline{X_k}\)或\(\underline{X_k}\)，它的可积性一定与\(\overline{X_0}\)是相同的，因为我们的近似保证了对变量取值的“修正”不会超过1，而\(\sum P(\Lambda _i) =1\)收敛，因此所有的近似变量的可积性都是等价的。由于连续函数的期望定义为了离散期望的极限，因此离散期望的性质都可以很容易地推广到连续情形。
连续随机变量的期望本质上是勒贝格积分，对于连续函数，勒贝格积分是与黎曼积分相等的。但许多黎曼不可积的函数却是勒贝克可积的，比如Dirichlet函数黎曼不可积，而勒贝格积分为0。黎曼积分是竖着切分，每个微元取函数值；勒贝格积分是横着切分，对于每个取值取自变量的测度。