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目录
Ch1 概率论
Ch2 变换和期望
Ch3 常见分布族
Ch4 多维随机变量
Ch5 随机样本的性质
5.1 随机样本的基本概念
Def
- 随机样本
- 总体：\(x\sim f(x)\)
5.2 随机样本中随机变量的和
Def
- 统计量：\(Y=T(x_1,...,x_n)\)（不能是含参数的函数）
- 抽样分布：\(Y\) 的概率分布
- 样本均值：随机样本值的算术平均
- 样本方差：
，样本标准差 \(S\)
Theorem 5.2.4
- \(min_a\Sigma_{i=1}^n|x_i-a|=\Sigma_{i=1}^n|x_i-median(x_1,...,x_n)|\)
Lemma 5.2.5
Theorem 5.2.6（\(\overline X\) 和 \(S^2\) 的无偏性）
- 统计量 \(\overline X\) 和 \(S^2\) 分别称为 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的无偏估计量
Example 5.2.10（Cauchy 随机变量的和）
- \(Cauchy(0,\sigma)+Cauchy(0,\tau)\sim Cauchy(0,\sigma+\tau)\)
5.3 正态分布的抽样
Theorem 5.3.1（正态分布下 \(\overline X\) 和 \(S^2\) 的分布）
Lemma 5.3.2（关于 \(\chi^2\) 随机变量的若干事实）
正态随机变量的线性组合
Lemma 5.3.3
- 对于由独立的正态随机变量的线性函数构成的随机变量，协方差等于 0 等价于独立。
导出分布：\(t\) 分布与 \(F\) 分布
略。
5.4 次序统计量
Def
- 次序统计量：\(X_{(1)},...,X_{(n)}\)
- 样本极差 \(R=X_{(n)}-X_{(1)}\)
- 样本中位数
Theorem 5.4.4（次序统计量的 pdf）
Example 5.4.5
Theorem 5.4.6（次序统计量的联合 pdf）
5.5 收敛的概念
依概率收敛
Def
- 依概率收敛：
Theorem 5.5.2（弱大数定律）
Example 5.5.3（\(S^2\) 的相合性）
几乎处处收敛
Def
- 几乎处处收敛：
（几乎处处收敛 \(\Rightarrow\) 依概率收敛）
Theorem 5.5.9（强大数定律）
依分布收敛
Def
- 依分布收敛：
Theorem 5.5.12（依概率收敛于随机变量 \(\Rightarrow\) 依分布收敛）
Theorem 5.5.13（依概率收敛于常数 \(\Leftrightarrow\) 依分布收敛）
Theorem 5.5.15（中心极限定理）
Theorem 5.5.17（Slutsky 定理）
- c. \(\frac{X_n}{Y_n}\rightarrow \frac{X}{C}\)
