一个路由器供着一个机房的电脑，所以今日无歌，无图，无 meme
二项式反演一般有三种形式：
\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}g(i)\iff g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}f(i)\\
f(n)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}g(i)\iff g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}f(i)\\
f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{i\choose n}g(i)\iff g(n)=\sum\limits_{i=n}^m(-1)^{i-n}{i\choose n}f(i)\\
\]
今天上课发呆瞎几把搞出了前两个的算子形式证明
式子 1
用算子形式改写得：
\[\mathrm E^nf=(1-\mathrm Eg)^n\iff\mathrm E^ng=(1-\mathrm Ef)^n
\]
不难发现 \(\mathrm Ef=1-Eg\) 可以代入右侧证明充分性，\(\mathrm Eg=1-Ef\) 可以代入左侧证明必要性
式子 2
改写后得到：
\[\mathrm E^nf=(1+\mathrm Eg)^n\iff \mathrm E^ng=(\mathrm Ef-1)^n
\]
和刚才一样，得出 \(\mathrm Ef=1+\mathrm Eg\Rightarrow \mathrm Eg=\mathrm Ef-1\) 然后代入即可
式子 3 感觉不是很行的样子，谁要有算子形式证明评论即可