15 预测方法

15.1 微分方程模型

以 15.1 美日硫磺岛战役模型为例

微分方程如下

\[\left\{ \begin{array}{b} \frac{dA(t)}{dt}=-0.0544J(t)+u(t)\\ \frac{dJ(t)}{dt}=-0.0106A(t)\\ A(0)=0,J(0)=21500 \end{array} \right. \]

代码如下

dxy=@(t,x)[-0.0544*x(2)+54000*(t>=0&t<1)+6000*(t>=2&t<3)+13000*(t>=5&t<6);-0.0106*x(1)];
[t,xy]=ode45(dxy,[0:36],[0,21500])
subplot(211);
plot(t,xy(:,1),'r*',t,xy(:,2),'gD');
subplot(212);
plot(xy(:,1),xy(:,2));

其中 dxy=@(t,x)[] 是构造了一个具有 $t,x$ 的函数表达式。方括号内用分号隔开了两个式子，分别表示两个微分方程（注意微分形式一定要在左边，方程个数和微分方程个数相同）

ode45是用于求微分方程数值解的函数

$[t,x]=ode45(Fun,tspan,x0)$ ，其中 $Fun$ 表示函数名， $tspan$ 表示求解区间（例中就是 $t$ 的取值）， $x0$ 表示初始值（例中就是0和21500），它返回的 $x$ 是一个 $t\times2$ 的矩阵，用于存放不同 $t$ 对应的两个变量。

由解出的 $x$ ，就可以画出微分方程组的轨线。

15.2 灰色预测模型

灰色模型 $Grey Model,GM$ ，根据较少的数据得到近似指数规律再进行建模的方法，但是只适用于中短期并且满足指数增长的预测。

累加生成：

令 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n))$ 为原始序列

其生成序列为$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(n))$

其中 $x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^{k}x^{(0)}(i)$ ，也就是 $x^{(1)}$ 是 $x^{(0)}$ 的一个前缀和序列

$r$ 次累加生成则有 $x^{(r)}(k)=\sum_{i=1}^{k}x^{(r-1)}(i)$

累加生成可以让非负数据变成连续单增的序列。如果有负数，可以进行移轴操作。

累减生成：

令 $x^{(r)}$ 表示 $r$ 次生成序列

有 $x^{(r-1)}(k)=x^{(r)}(k)-x^{(r)}(k-1)$

其实就是累加的逆运算，也可以叫做差分

可以用于生成序列求原序列

均值生成：

记 $z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),...,z^{(1)}(n))$ 为 $x^{(1)}$ 的均值生成序列

当 $z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1),k=2,3,...,n$

GM(1,1)模型

即一阶微分方程且含有1个变量的灰色模型

设时间序列 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n))$ 有 $n$ 个观察值，通过累加生成新序列$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(n))$

则 $GM(1,1)$ 模型建立的白化形式微分方程为

\[\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=b \]

其中 $a$ 称为发展灰数， $b$ 称为内生控制灰数

令

\[B=\begin{pmatrix} -z^{(1)}(2) &1 \\ -z^{(1)}(3) &1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) &1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ Y_n=\begin{pmatrix} x^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3)\\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{pmatrix} \]

设 $u$ 为待估参数向量

\[u=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \]

则微分方程可以表示为

\[Y_n=Bu \]

利用最小二乘法求解得到

\[u=(B^TB)^{-1}B^TY_n \]

求解微分方程得到预测模型

\[\hat x^{(1)}(k+1)=( x^{(0)}(1) -\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a} \]

然后进行差分操作，得到原始序列的灰色预测模型

\[\hat x^{(0)}(k)=\hat x^{(1)}(k)-\hat x^{(1)}(k-1) \]

两个参数中， $a$ 主要控制系统发展态势的大小，其中

①当 $-a<0.3$ 时， $GM(1,1)$ 模型可用于中长期预测

②当 $0.3<-a<0.5$ 时， $GM(1,1)$ 模型可用于短期预测

③当 $0.5<-a<0.1$ 时，应该使用 $GM(1,1)$ 改进模型，包括 $GM(1,1)$ 残差修正模型

④当 $-a>1 $ 时，不宜采用 $GM(1,1)$ 模型

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