数字逻辑期末复习
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第一章 数字逻辑基础
1.2 常用数制和编码
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数置基本要素：基数与权
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基数：一个数位上可能出现的基本数码的个数
如：二进制的基本数码：0、1，则基数R=2。 -
权：基数的冥，记为R^i
如：十进制273=3*10^0+7*10^1+2*10^2中，10^i即为权
常用数制
1.2.1 十进制
十进制有十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
基数：R=10
权值：R^i= 10^i
1.2.2 二进制
二进制有二个数码：0、1。
基数：R=2
权值：R^i= 2^i
1.2.3 八进制
八进制有个八数码：0、1、2、3、4、5、6、7。
基数：R=8
权值：R^i= 8^i
1.2.4 十六进制
十进制有十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。
基数：R=16
权值：R^i= 16^i
数制转换
1.2.5 R进制->十进制
1.2.6 十进制->R进制
（1）整数部分的转化
除基取余商为0，先得余数为低位
1.十进制整数除以基数，得到的余数是非十进制最低位；
2.将步骤1所得商再除以基数，得到的余数是次低位；
3.重复步骤2，直到商为0。
（2）小数部分的转化
乘基取整积为0，先得整数为高位
1.先将十进制小数乘以基数,得到的乘积的整数部分是非十进制数的最高位;
2.将步骤(1)所得乘积两小数部分再次乘以基数，得到的乘积的整数部分是非十进制数的次高位;
3.重复步骤(2),直到最后所得到的乘积为0或满足一定的精度要求。
1.2.7 二进制、八进制、十六进制相互转化
二进制->八进制，十六进制
因为八进制数、十六进制数的基数分别为23=8，24=16，所以二进制数转换成八进制(或十六进制)数时,每3位(或4位)二进制数相当于1位八进制(或十六进制)数，其转换方法如下:
从小数点算起.向左或向右每3位(或4位)分成一组，最后不足3位(或4位)用0补齐(例题中带方框的0为补位的0)，每组用1位等值的八进制(或十六进制)数表示，即得到要转换的八进制(或十六进制)数
八进制，十六进制->二进制
即逆过程
八进制->十六进制
二进制的原码、反码和补码
1.2.8 原码
- 符号位（0正1负)+尾数部位
1.2.9 反码
- 正数跟原码一样；
- 负数需要将符号位以外的部分——也就是尾数部分按位取反。
1.2.10 补码
- 正数跟原码一样；
- 负数为反码尾数末位加1
简化运算过程，把减肥变成加法
补码，即与原码互补
-5的补码是11011也就是-11，两个数字的尾数部分相加为16=2^4。
常用编码
1.2.11 BCD码
即二-十进制码，用四位二进制码表示一位十进制码
8421码:
余三码：
由8421码加3（0011）得到
1.2.12 可靠性编码
格雷码:相邻性、循环性
奇偶校验码：增加1位监督码元，使原码中1的个数为奇数或偶数
1.3逻辑代数及其运算和规则
1.3.1 基本定理
1.代入定理
2.反演定理
3.对偶定理
1.3.2 常用公式
1.4 逻辑函数及其表示方法
逻辑函数的表示方法有真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图、波形图等
逻辑函数的表示方法
1.4.1 逻辑表达式
逻辑表达式分为“与或”式、“或与”式
常见逻辑表达式有“与或”式、“与或非”式、“或与”式、“与非-与非”式、“或非-或非”式
1.4.2 卡诺图
实际绘制卡诺图时，方格中填写该方格对应的逻辑值（通常只填1）
1.4.3 逻辑图
1.4.4 波形图
逻辑函数的标准形式
标准形式分为最小项表达式、最大项表达式
1.4.5 最小项表达式
- 最小项
- 若P为n个变量组成的“与”项，在P中每个变量都以原变量或反变量作为因子仅出现过一次，那么P就是这n个变量的最小项
n个变量可以组成2^n个最小项
最小项的编号mi
: 原变量=1，反变量=0，将最小项看作二进制数转化成十进制数，作为m的下标i
最小项的性质
1.任何两个最小项的乘积为0，如~A~BC*ABC=m1*m 7=0
2.全部最小项的和为1
最小项表达式
最小项表达式的性质
1.反函数的最小项表达式由原函数最小项之外的其他最小项组成
1.4.6 最大项表达式
- 最大项
- 若P为n个变量组成的“或”项，在P中每个变量都以原变量或反变量作为因子仅出现过一次，那么P就是这n个变量的最大项
n个变量可以组成2^n个最大项
最大项的编号Mi
: 原变量=0，反变量=1，将最大项看作二进制数转化成十进制数，作为M的下标i
最大项的性质
1.任何两个不同最大项的和为1，如(A+B+C)+(A+B+~C)=0+1=1
2.全部最大项的积为0，M0*M1*M2*M3*……*M7=0*1*1*1*1=0
3.只有一个变量不同的俩个最大项的积等于各相同变量之和，如(A+B+C)*(A+B+~C)=A+B
最大项表达式
1.4.7 最小项与最大项的关系
（1）mi=~Mi
（2）mi+Mi=mi+~mi=1
（3）mi'=Mj,i+j=2^n-1
逻辑函数表示方法间的转化
1.4.8 真值表、卡诺图->逻辑表达式
- 真值表、卡诺图->逻辑表达式
- 利用真值表写出最小项表达式
用最小项的项号给卡诺图编号
1.5 逻辑函数的化简
- 最简“与或”表达式
- 表达式中与项最少，且每个与项的变量数最少
- 最简“或与”表达式
- 表达式中或项最少，且每个或项的变量数最少
1.5.1 代数化简法/公式化简法
“与或”表达式->最简“与或”表达式
（1）并项法 A+~A=1
（2）吸收法 A+AB=A AB+AC+BC=AB+AC
（3）配顶法 A+A=A A=A+AB A=AB+A~B AB+AC=AB+AC+BC
（4）消去法 A+~AB=A+B AB+AC+BC=AB+AC
“或与”表达式->最简“或与”表达式
先对Y=或与求偶得Y'=与或，化简后再对偶得Y=或与
1.5.2 卡诺图化简法
几何相邻
逻辑相邻
只有一个变量不同，其余变量都相同的两个最小项在逻辑上相邻，如ABC和A~BC
合并最小项规律
（1）如果两个最小项逻辑相邻，则可去掉一个互反因子合并为一项
（2）如果四个最小项逻辑相邻，则可去掉两个互反因子合并为一项
（3）如果八个最小项逻辑相邻，则可去掉三互反因子合并为一项
卡诺图画圈化简原则
1.5.3 含有无关项的逻辑表达式及其化简
无关项(不会在逻辑函数中出现的最小项）
无关项分为约束项和任意项
约束项
: 某些变量取值组合不允许出现的最小项
- 任意项
- 某些变量取值组合客观上不会出现的最小项，其取1或0对表达式无影响
无关项的值视为1或0均可，不影响
约束方程
含有无关项的逻辑函数的化简
