微积分 A(1) —— 导数与微分-JZTXT

107 导数与微分

内容：$\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ $\newcommand{\bs}{\backslash}$ $\newcommand{\e}{\mathrm{e}}$ $\newcommand{\d}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\D} {\Delta}$ $\newcommand{\i} {\mathrm{i}}$

微分与导数的概念。
微分与导数的运算规律。
物理应用与几何应用。

WXF：微分比导数更重要。

微分和导数

微分（求切线）和积分（求面积）各自很早就被发明了，但它们之间的联系（微积分）直到 Newton-Leibniz 时代才被发现。于是，描述它们的关系的 Newton-Leibniz 公式称为 微积分基本定理。

概念

定义

称 $L : \R \to \R$ 是 线性函数，若 $\forall x, y, \lambda \in \R$

\[L(x) + L(y) = L(x + y) \\ L(\lambda x) = \lambda L(x) \]

一维线性函数就是正比例函数 $L(x) = L(x\cdot 1) = xL(1)$。

定义

称 $x_0$ 为 $I$ 的内点，指 ……

对比内点和聚点的定义。内点一定是聚点：聚点要求一串收敛到 $x_0$ 的点；内点要求 $x_0$ 完全在某个区间内。

定义

设 $x_0$ 为 $I$ 的内点。称函数 $f : I\to \R$ 在 $x_0$ 处可微，指存在线性函数 $L$ 使得

\[f(x_0 + h) = f(x_0) + L(h) + o(h),\quad h\to 0 \]
称 $L$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分，记作 $\d f(x_0)$。

可微一定连续。

本质：在局部给非线性函数找线性近似，使误差是自变量变化量的高阶无穷小。于是 线性函数的微分是它本身。

定义

一元函数的微分 $\d f(x_0)$ 是正比例函数，其比例系数记为 $f'(x_0)$，称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。

\[\d f(x_0) (h) = f'(x_0)h \]

微分是直线，导数是斜率。

一元函数（自变量只有一维，函数值可以多维）求导公式：…… 若该极限存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导。一元函数可微等于可导。

传统记号：记 $\D x = h$，$\D y = f(x_0 + \D x) - f(x_0)$。

\[f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac {\D y} {\D x} =: \frac {\d y} {\d x} \]

物理应用：微分相当于曲线运动在一点处的切线，导数相当于曲线运动在一点处的速度向量。

对一元映射可以定义微分和导数：$\mathbf{S} : (a, b)\to \R ^ n$ 是一个映射，它在 $t_0$ 处的微分 $\d \mathbf{S}(t_0): \R\to \R ^ n$ 是一个线性映射，满足 ……

例 $1$

$x ^ n$ 的微分。

解：

\[(x + h) ^ n = x ^ n + {\color{red} nx ^ {n - 1}} + {\color{blue}o(h)}, \quad h\to 0 \]
于是 $\d x ^ n(h) = n x ^ {n - 1} h$，$(x ^ n)' = n x ^ {n - 1}$。

例 $2$

$\e ^ x$ 的微分。

解：

\[\e ^ {x + h} = \e ^ x \e ^ h = \e ^ x[1 + h + o(h)] = \e ^ x + \e ^ x h + o(h), \quad h\to 0 \]
于是 ……

例 $3$

$\sin$ 的微分。

解：

\[\sin (x + h) = \sin x[1 + o(h)] + \cos x[h + o(h)] = \sin x + \cos x \cdot h + o(h), \quad h\to 0 \]
于是 ……

要熟悉用微分的观点做讨论：用极限求导数的方法在自变量有多维时不适用。

性质

复合函数微分（链索法则）

若 …… 则

\[\d (g\circ f)(x_0) = \d g(y_0) \circ \d f(x_0) \\ (g\circ f)'(x_0) = g'(y_0) f'(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0) \]
证明：

\[f(x_0 + h) - f(x_0) = ah + o(h), \quad h\to 0 \\ g(y_0 + v) - g(y_0) = bv + o(v), \quad v\to 0 \]
于是

\[\begin{aligned} g(f(x_0 + h)) - g(f(x_0)) & = b(f(x_0 + h) - f(x_0)) + o(f(x_0 + h) - f(x_0)) \\ & = b(ah + o(h)) + o(ah + o(h)) \\ & = bah + o(h), \quad h\to 0 \end{aligned} \]
$\square$

证明中不严谨的地方：$v\to 0$ 要求 $v\neq 0$，但 $f(x_0 + h) - f(x_0)$ 可能为 $0$。解决方法：当 $v = 0$ 时，$g(y_0 + v) - g(y_0) - bv = 0 = o(0)$，等式依然成立。

线性函数 $y = ax$ 和 $z = by$ 的复合 $z = b(ax) = bax$ 是线性函数，比例系数是两个比例系数的积。

复合的微分等于微分的复合。

例 $4$

$\cos$ 的微分。

解：

\[\d \cos x(h) = \d \sin (\frac \pi 2 - x) \left(\d \left(\frac \pi 2 - x\right)(h)\right) = \cos(\frac \pi 2 - x)(-1) h = -\sin x \cdot h \]

例 $5$

$a ^ x$ 的微分。

解：

\[\d a ^ x(h) = \d (\e ^ {x\ln a}) (h) = \e ^ {x \ln a} \ln a\cdot h = a ^ x\ln a \cdot h \]

反函数微分

设 $f$ 有连续反函数（为什么？），若 …… 则

\[\d(f ^ {-1})(y_0) = (\d f(x_0)) ^ {-1} \]
要求 $f'(x_0) \neq 0$。

证明：

\[y - y_0 = a(x - x_0) + o(x - x_0), \quad x\to x_0 \]
于是

\[x - x_0 = \frac 1 a(y - y_0) + o(y - y_0), \quad y\to y_0 \]
$\square$

反函数的微分等于微分的反函数。反函数的导数等于原函数的导数的倒数。

线性函数 $y = ax(a\neq 0)$ 有反函数 $x = a ^ {-1} y$。

例 $6$

$\ln x$ 的导数。

解：

\[(\ln y)'_y = \frac {1} {(\e ^ x)'_x} = \frac 1 {\e ^ x} = \frac 1 y \]

例 $7$

$x ^ \mu$ 的导数。

解：

\[(x ^ \mu)' = (\e ^ {\mu \ln x})'_x = \e ^ {\mu \ln x} \mu \frac 1 x = \mu x ^ {\mu - 1} \]

例 $8$

$\arcsin, \arccos$ 的导数。

解：

在 $(-\frac \pi 2, \frac \pi 2)$ 上，$(\sin x)' = \cos x \neq 0$。

\[(\arcsin y)' = \frac 1 {(\sin x)'} = \frac {1} {\cos x} = \frac {1} {\sqrt {1 - y ^ 2}} \]
另一种思路：

$y = \arcsin x\iff x = \sin y$。等号两侧同时对 $x$ 求导，$1 = \cos y \cdot y'_x$。

于是

\[(\arcsin x)' = y'_x = \frac {1} {\cos y} = \frac {1} {\sqrt {1 - \sin ^ 2 y}} = \frac {1} {\sqrt {1 - x ^ 2}} \]
根据 $\arccos x = \frac \pi 2 - \arcsin x$，$(\arccos x)' = - \frac {1} {\sqrt {1 - x ^ 2}}$。

导数四则运算（一）

若 …… 则

\[(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \\ (fg)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) & (\mathrm{Leibniz\ 公式}) \]
证明：略。

微分不保持运算。

导数四则预算（二）

若 …… 且 $g(x_0)\neq 0$，则

\[\left(\frac f g\right)'(x_0) = \frac {f'(x_0) g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)} {g(x_0) ^ 2} \]
证明：$(\frac 1 x)' = -\frac 1 {x ^ 2}$，于是 $\frac f g$ 可以看成 $f \cdot h(g)$，其中 $h = \frac 1 x$。使用链索法则和 Leibniz 公式即得。$\square$

例 $9$

$\tan, \cot$ 的导数。

解：

\[(\tan x)' = \frac {(\sin x)'\cos x - (\cos x)'\sin x} {\cos ^ 2 x} = \frac {1} {\cos ^ 2 x} = 1 + \tan ^ 2 x \\ (\cot x)' = \frac {(\cos x)'\sin x - (\sin x)'\cos x}{\sin ^ 2x} = -\frac {1} {\sin ^ 2 x} = -1 - \cot ^ 2x \]
改除为乘（隐函数求导）：$y \cos x = \sin x$，于是

\[y'\cos x - y\sin x = \cos x \\ \implies y' = 1 + y\tan x = 1 + \tan ^ 2 x \]

以上运算性质的重要之处在于它提供了可微性的保证。

例 $10$

$\arctan$ 的导数。

解：

$y = \arctan x$，于是 $x = \tan y$，则

\[1 = (1 + \tan ^ 2 y) y'_x = (1 + x ^ 2)y'_x \]
因此

\[(\arctan x)' = \frac {1} {1 + x ^ 2} \]

例 $11$（对数求导法）

$u, v, w, z$ 都是关于 $x$ 的可微函数，求 $\frac {u ^ v w}{z ^ 2}$ 的导数。

解：

记 $y = \frac {u ^ v w} {z ^ 2}$，取对数

\[\ln |y| = v\ln |u| + \ln |w| - 2\ln |z| \]
对 $x$ 求导

\[\frac {y'} y = \frac {vu'} u + v'\ln u + \frac {w'} w - \frac {2z'} z \]
所以 $y' = \cdots$

对数求导法的本质是 $(\ln |x|)' = \frac 1 x$。对于方程 $y = y(x)$，有 $|y| = |y(x)|$，将绝对值下放至每一项乘积因子，再求导，可保证每一项非负。注意：需要特殊讨论 $y = 0$ 的情况。

对数求导法的缺陷。

形式不变性

如何理解一开始的 $f'(x) = \frac {\d y} {\d x}$（$\d y = f'(x) \d x$）：恒同映射 $\mathrm{id}$ 的函数值是 $x$ 自身，它是线性映射，于是它的微分和它相等，$\d x(h) = h$。对 $y = f(x)$，$y$ 既代表函数值，又代表 $f$ 本身，于是

\[\d y(h) = \d f(x) (h) = f'(x)h = f'(x) \d x(h) \]

因此

\[\d y = f'(x) \d x = \frac {\d y} {\d x} \d x \]

如果 $y = y(u)$ 和 $u = u(x)$ 可微，则链索法则可写为

\[\frac {\d y} {\d x} = \frac {\d y} {\d u} \frac {\d u} {\d x} \]

写成微分即

\[\d y = \frac {\d y} {\d x} {\d x} = \frac {\d y} {\d u} \frac {\d u} {\d x} \d x = \frac {\d y} {\d u} \d u \]

无论 $y$ 作为变量 $x$ 的函数还是变量 $u$ 的函数，微分 $\d y$ 具有相同的形式 —— 微分的形式不变性。

反函数求导公式为

\[\frac {\d y} {\d x} = \frac 1 {\frac {\d x} {\d y}} \]

Leibniz 的符号体系方便初学者记忆，但也有很强的迷惑性。“不要做经验主义的驴”。

对微分形式不变性的理解。

曲线

108 高阶导数

109 微分中值定理

用导数研究函数时，需要微分中值定理作为工具：刻画大范围下（而非一点处）导数对函数的影响。

内容：

极值和驻点，Fermat 引理。
微分中值定理，Rolle-Cauchy-Lagrange。
微分中值定理的应用：函数单调性，用导数判断极值。

定理介绍

微分中值定理是连接导数的微观性质和函数的宏观性质的桥梁。

极值定理 + Fermat 引理 = Rolle 定理。

Rolle 定理

$f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi\in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。

推广的 Rolle 定理

设 $-\infty \leq a < b \leq +\infty$，$f$ 在 $(a, b)$ 内可微，且

\[\lim_{x\to a ^ +} f(x) = \lim_{x\to b ^ -} f(x) = A \in \R \cup \{\pm\infty\} \]
则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。

证明：假设存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \neq A$，否则 $f$ 为常值函数，结论成立。不妨设 $f(x_0) < A$，则存在 $a < x_1 < x_0 < x_2 < b$ 使得 $f(x_1) > f(x_0)$，$f(x_2) > f(x_0)$。

因为 $f$ 可微，所以 $f$ 连续，于是 $f$ 在有界闭区间 $[x_1, x_2]$ 上有最小值 $f(\xi)$，且 $\xi \in (x_1, x_2)$。于是 $f$ 是可微极值点，根据 Fermat 引理，$f'(\xi) = 0$。$\square$

Cauchy 微分中值定理

设 ……，则存在 $\xi\in (a, b)$ 使得 $f'(\xi)(B - A) = g'(\xi) (\beta - \alpha)$。

证明：令 $F(x) = (f(x) - \alpha)(B - A) - (g(x) - A)(\beta - \alpha)$，使用 Rolle 定理即可。$\square$

注意：这里 $\alpha, \beta, A, B$ 都是极限而非函数的具体取值。这使得它的适用范围更广（如 L’ Hopital 法则的正确性证明）。

Lagrange 微分中值定理

设 $f$ 在有界闭区间 $[a, b] $ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可微，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = \frac {f(b) - f(a)} {b - a}$。

证明：令 $g(x) = x$，使用 Cauchy 中值定理即可。$\square$

Lagrange 微分中值定理也可以写成极限的形式。

Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的参数方程形式。Lagrange 中值定理将 Rolle 定理水平化斜。Lagrange 中值定理在接下来更常用。

微分中值定理的几何解释：可微曲线上任意两点之间存在切线与这两点所连的弦平行的点。

在任意一段运动过程中，存在速度与总位移平行的时刻。
对于参数曲线 $\begin{cases} x = t ^ 3 \\ y = t ^ 2 \end{cases}$，曲线图像形如 $\curlyvee$，此时 Cauchy 中值定理还有效吗？核心：$x'(t) = y'(t) = 0$。

几何切线与切向量不一定相同。
Cauchy 微分中值定理的几何解释只适用于平面曲线，不适用于空间曲线.

应用

导数与单调性

定理

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 内可微，则：

$\forall x\in I, f'(x) \geq 0\iff$ $f$ 在 $I$ 上单调不减。

$\forall x\in I, f'(x) = 0\iff $ $f$ 在 $I$ 上为常值。

$\forall x\in I, f'(x) > 0\ \ {\color {red}\implies} $ $f$ 在 $I$ 上严格增。

证明即使用 Lagrange 微分中值定理。

导数的非严格正负号等价于函数的非严格单调性，但只能从导数的严格正负号推出函数的严格单调性，反之则不行。反例：$f(x) = x ^ 3$。

之前的作业使用了闭区间套证明上述结论，但微分中值定理显然更方便。

例 $1$

讨论函数 $f(x) = (1 + \frac 1 x) ^ {x + a}$ 的单调性。

解：

先考虑定义域：$(-\infty, -1)\cup (0, +\infty)$。

以 $\e$ 为底换掉指数上的 $x$，即令 $f(x) = \e ^ {g(x)}$，则 $g(x) = (x + a)\ln(1 + \frac 1 x) $ 且 $f, g$ 单调性相同。

\[g'(x) = \ln(1 + \frac 1 x) + (x + a)\left(\frac {1}{x + 1} - \frac 1 {x}\right) \]
一阶导数依然较复杂，继续求二阶导。

\[g''(x) = \frac {(2a - 1) x + a} {x ^ 2(x + 1) ^ 2} \]

若 $a = \frac 1 2$，则 $g''(x) > 0$，于是 ……

若 $a \neq \frac 1 2$，则 ……

讨论单调性时需要写单调区间和值域范围。

例 $2$

求参数 $a, b$ 的范围，使得对任意 $x > -1$ 且 $x\neq 0$，都有 $\frac {x} {1 + ax} < \ln(1 + x) < \frac {x} {1 + bx}$。

解：研究 $f_a(x) = \ln(1 + x) - \frac {x}{1 + ax}$ 的正负性 ……

用导数研究原函数单调性，原函数越简单越好：不要给自己找麻烦。如对于 $\ln x$，尽量让它单独出现，于是求导后变成有理函数，方便讨论。

Darboux 定理

设 $f$ 在区间 $I$ 上可微，则 $f'(I)$ 是区间。

证明：设 $f'(x_1) < f'(x_2)$，不妨设 $x_1 < x_2$，则 $\forall c\in (f'(x_1), f'(x_2))$，设 $g(x) = f(x) - cx$，则 $g'(x_1) < 0 < g'(x_2)$，于是 $x_1, x_2$ 不是最小值点。

$g$ 在 $[x_1, x_2]$ 上有最小值点 $\xi\in (x_1, x_2)$，根据 Fermat 引理，$g'(\xi) = 0$，于是 $f'(\xi) = c$。$\square$

推论

若 $f$ 在区间 $I$ 上可微且 $f'(x)\neq 0$，则 $f$ 在 $I$ 上严格单调。

Darboux 定理：导函数具有介值性。但注意：导函数不一定连续。反例：

\[f(x) = \begin{cases} x ^ 2\sin \frac 1 x & x\neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]

该例中 $f'$ 不连续，但 $f'$ 仍具有介值性。

函数的导函数不存在第一类间断点。

导数与极值

定理

设 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$f'(x_0) = 0$。

若 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；

若 ……

证明：因为 $f''(x_0)$ 存在，所以 $f$ 在 $x$ 的邻域 $V$ 中一阶可微。

对任意 $y, z\in V$ 且 $y < x_0 < z$，都有 $f'(y) < 0 < f'(z)$，于是 $f$ 在 $x_0$ 左侧邻域严格减，在 $x_0$ 右侧邻域严格增，$f$ 在 $x_0$ 处取到极小值。

二阶导数的正负性结合 $f'(x_0) = 0$ 推出一阶导数在 $x_0$ 两侧的正负性，再根据导数与单调性的关系推出原函数在 $x_0$ 两侧的单调性。

如何记忆该定理：考虑 $f(x) = ax ^ 2$。

定理

设 $f$ 在 $x_0$ 处 $2n$ 阶可微，$n\in \N ^ *$，且 $\forall i\in [1, 2n - 1]$，$f ^ {(i)}(x_0) = 0$。

若 $f ^ {(2n)}(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；

若 ……

证明：使用数学归纳法易证。

推论

将上述定理中的 $2n$ 改为 $2n + 1$（奇数）。

若 $f ^ {(2n + 1)}(x_0) > 0$，则 $x_0$ 一定不是 $f$ 的极值点，且 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有严格单调性。注意这对 $n = 0$ 不成立，我们已经多次强调过这一点。

若 ……

考虑

\[f(x) = \begin{cases} \e ^ {-\frac {1} {|x|}} (0.1 + \sin ^ 2 \frac 1 x ) & x\neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]

在 $x = 0$ 取严格极小值，但 $f ^ {(n)}(0) = 0$，且在 $x = 0$ 的左右两侧函数都不单调。

物理应用

椭圆的光学性质：$T(s) = \sqrt {(x(s) - c) ^ 2 + y(s) ^ 2} + \sqrt {(x(s) + c) ^ 2 + y(s) ^ 2}$。根据费马原理，光沿最省时间的路径传播，于是 $T'(s) = 0$，即 $T(s)$ 是常数。于是曲线是椭圆。
折射定律（Snell 定律）。
最速降线问题：
- 由机械能守恒得到 $v = \sqrt {2gy}$。
- 变速运动最省时间的路径服从折射定律：$\frac {\sin \theta} v = C$。
- 而 $y'_x = \cot\theta$，且 $1 + \cot ^ 2\theta = \frac {1} {\sin ^ 2\theta} = \frac {1} {C ^ 22gy}$。
- 于是 $y$ 满足微分方程 $y[1 + (y_x') ^ 2] = A$。
- 验证摆线 $\begin{cases} x = \frac A 2(\theta - \sin \theta) \\ y = \frac A 2(1 - \cos \theta) \end{cases}$ 是解。

110 函数的凹凸性

内容：

凸函数与凹函数的概念。
用导数判断函数的凹凸性。
凸函数的连续性与可微性。
凸函数的最值，曲线的凸性。
凸函数与不等式。

一阶导数是直线近似，二阶导数描述函数凹凸性。

性质与应用

连续性和可微性

凸函数没有保证函数连续和可微，所以它们的连续性与可微性是需要研究的。

设 $f$ 是凸函数，$x_1 < x_2 < x_3$。设 $g_k(x) = \frac {f(x) - f(x_k)} {x - x_k}$。

$g_1(x)$ 在 $x_1$ 右侧单调不减，$g_2(x)$ 在 $x_2$ 右侧的值比它在 $x_2$ 左侧的值大，$g_3(x)$ 在 $x_3$ 左侧单调不减。

根据单调有界收敛定理，凸函数非端点两侧一定有单侧切线，该点左连续且右连续，凸函数一定连续。

容易证明 $f_-'(x_1) \leq f_+'(x_1) \leq f_-'(x_2) \leq f_+'(x_2)$，于是

若 $f'_+$ 在 $x_2$ 处连续，则 $f_-'(x_2) = f_+'(x_2)$，$f$ 在 $x_2$ 处可导。
若 $f'_-$ 在 $x_1$ 处连续，则 $f'_-(x_1) = f'_+(x_1)$，$f$ 在 $x_1$ 处可导。

因为单调函数的间断点至多有可数无穷个，所以 除去一个至多可数无穷集，$f$ 在 $I$ 上处处可导（这是连续函数所不具有的性质）。

最值性

定理

若 $x_0$ 可微凸函数 $f$ 的临界点，则 $x_0$ 是 $f$ 的最小值点。

更一般的结论：

定理

如果凸函数 $f$ 可微，则 $y = f(x)$ 位于它在任意 $x_0$ 处的切线的上方。

\[f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0), \forall x \]
若 $f$ 严格凸，则取等当且仅当 $x = x_0$。

上述定理可以加强为 $f$ 在 $x_0$ 处可微。

例 $1$

证明 $\e ^ x > x + 1, \forall x\neq 0$。

证明：$\e ^ x$ 在 $x = 0$ 处的切线为 $x + 1$，而 $\e ^ x$ 严格凸，于是 $\e ^ x > x + 1, \forall x\neq 0$。

例 $2$

求 $\frac {2x ^ 2} {x + 1}$ 的渐近线。

解：当 $x\to \infty$ 时，$\frac {2x ^ 2} {x(1 + \frac 1 x)} = 2x[1 - \frac 1 x + o(\frac 1 x)] = 2x - 2 + o(1)$，于是其渐近线为 $2x - 2$。

此时渐近线就像是函数在无穷远处的切线，再根据凹凸性可知右侧分支永远在渐近线上方，左侧分支永远在渐近线下方。

Newton 法的全局收敛性

设凸函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微，$f'(x) > 0$，$f(a) < 0 < f(b)$，则 $\forall x_0\in (a, b)$，只要 $f(x_0) > 0$，Newton 迭代

\[x_{n + 1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)} \]
必然收敛到 $f$ 的零点。

证明是容易的。

思考：如何分析收敛速度。

不等式

感觉在看天书。

Jesen 不等式

设 $f$ 是区间 $I$ 上的凸函数，则对任意 $x_1, x_2, \cdots, x_n \in I$ 以及任意正数 $t_1, t_2, \cdots, t_n$，

\[f\left(\frac {\sum t_ix_i} {\sum t_i}\right) \leq \frac {\sum t_if(x_i)} {\sum t_i} \]
若 $f$ 严格凸，则等号成立当且仅当所有 $x_i$ 相等。

对 $n$ 做数学归纳法可证。

例 $3$

设 $a_1, a_2, \cdots, a_n > 0$ 不全相同，证明 $f(x) = \left(\frac {\sum a_i ^ x} n\right) ^ \frac 1 x$ 是严格增函数。

证明：任取 $0 < x_1 < x_2$，则 $f(x_1) < f(x_2)$ 当且仅当

\[\left(\frac {\sum b_i} n\right ) ^ t\leq \frac {\sum b_i ^ t} n \]
其中 $t = \frac {x_2} {x_1}$，$b_k = a_k ^ {x_1}$。后者是 $x ^ t$（$x > 0$，$t > 1$）的 Jesen 不等式，而 $x ^ t$ 严格凸。

对于 $x_1 < x_2 < 0$，类似证明 $f(x_1) < f(x_2)$。

当 $x\to 0$ 时，$f(x)\to \sqrt [n]{a_1a_2\cdots a_n}$，以它作为 $f(0)$ 的函数值，则 $f$ 连续。$\square$

例 $4$

设 $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = q_1 + q_2 + \cdots + q_n = 1$。

证明 $\sum p_i\ln q_i\leq \sum p_i\ln p_i$。

证明：左式减去右式，根据 $\ln$ 为凹函数使用 Jesen 不等式得 $\sum p_i \ln \frac {q_i} {p_i} \leq \ln(\sum p_i\frac {q_i} {p_i}) = 0$。$\square$

$-\sum p_i\ln p_i$ 称为离散概率分布的熵，它是某种情况发生时其概率 $P$ 的 $-\ln P$ 的期望值。$n$ 个取值的离散分布的最大熵为 $\ln n$。

Holder 不等式

对正数 $a_1, \cdots, a_n; b_1, \cdots, b_n$ 以及 $p, q: \frac 1 p + \frac 1 q = 1$，有

\[\sum_{k = 1} ^ n a_kb_k \leq \left(\sum_{k = 1} ^ na_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p} \left(\sum_{k = 1} ^ n b_k ^ q\right) ^ {\frac 1 q} \]

Minkowski 不等式

…… 以及 $p\geq 1$，有

\[\left(\sum_{k = 1} ^ n(a_k + b_k) ^ p \right) ^ {\frac 1 p} \leq \left(\sum_{k = 1} ^ n a_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p} + \left(\sum_{k = 1} ^ n b_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p} \]

$p = 2$ 是 $\R ^ n$ 中的三角形不等式。

Legendre 变换

设 $f$ 是区间 $I$ 上的可微严格凸函数，于是 $J = f(I')$ 是区间且 $f'$ 严格单调。

$\forall u\in J$，存在唯一的 $x_u$ 使得 $f'(x_u) = u$，于是 $f(x) \geq f(x_u) + u(x - x_u)$。

记 $g_u = \sup(xu - f(x)) = ux_u - f(x_u)$，称 $g: J\to \R$ 为 $f$ 的 Legendre 变换。

于是

\[f(x) + g(u) \geq ux, \forall x\in I, \forall u\in J \]
$g(u)$ 为对应切线在 $y$ 轴截距的相反数。

例 $5$

设 $p > 1$，求 $f(x) = \frac {x ^ p} p$ 的 Legendre 变换。

解：$g(u) = \frac {u ^ q} {q}$，其中 $q = \frac p {p - 1}$。

于是 $q > 0$ 且 $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$，得到 Young 不等式

\[\frac {x ^ p} {p} + \frac {u ^ q} {q} \geq ux, \forall x, u > 0 \]

111 L’ Hopital 法则与 Taylor 公式

内容：

L’ Hopital 法则。
Taylor 公式。
Taylor 公式的应用。

主要是在求未定型极限方面的应用。

L' Hopital 法则

不定型极限

引入无穷大和无穷小时，有一些关于它们的四则运算是不成立的：

\[\begin{aligned} & \frac {\infty} {\infty}, \frac {o(1)} {o(1)} \\ & \infty \cdot o(1) = \frac {o(1)} {\frac {1} {\infty}} \\ & \infty - \infty = \infty\left(1 - \frac {\infty} {\infty}\right) \\ & o(1) ^ {o(1)} = \e ^ {o(1) \ln o(1)}, \infty ^ {o(1)} = \e ^ {o(1) \ln \infty} \\ & \cdots \end{aligned} \]

这些运算大都可以归结到计算形如 $\frac {o(1)} {o(1)}$ 的极限。

定理介绍

L' Hopital $\frac {o(1)} {o(1)}$

设 $f(x) = o(1), x\to a$，$g(x) = o(1), x\to a$，$g'(x) \neq 0$。

若 $\lim_{x\to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} = A \in\R \cup \{\pm\infty\}$，则 $\lim_{x\to a} \frac {f(x)} {g(x)} = A$。

注意分清条件和结论。

$a$ 可以是无穷远。

证明：极限定义 + Cauchy 中值定理。

无需要求 $g(x) = 0$：$g'(x) \neq 0$ 且 $\lim_{x\to a} g(x) = 0$，于是 $g(x)\neq 0$。

L’ Hopital $\frac {\mathrm{something}} {\infty}$

设 $g(x)\to \infty,x\to a$，$g'(x) = 0$。

若 …… 则 ……

若 $f$ 有界，则极限为 $0$。注意：$f$ 无界 $\neq$ $f\to +\infty$，$f$ 可以来回震荡。即 趋于无穷一定无界，无界不一定趋于无穷。

证明：证明很有技巧性。

例 $1$

设 $\alpha > 0$，求 $\lim_{x\to +\infty} \frac {\ln x} {x ^ \alpha}$。

解：$x ^ \alpha\to +\infty, x\to +\infty$（分母无穷大）。于是

\[\lim_{x\to +\infty} \frac {\ln x} {x ^ \alpha} = \lim_{x\to +\infty} \frac {1} {\alpha x ^ \alpha} = 0 \]

使用 L’ Hopital 的每一步：若右侧极限存在，则左侧极限存在且相等。

例 $2$

求 $\lim_{x\to 0} \frac {\e ^ {-\frac 1 {x ^ 2}}} x$。

解：直接 L’ Hopital 无法求出结果，需要换元。

可根据 $\e ^ x > x$ 放缩求出答案为 $0$。

能不用 L’ Hopital 就别用。

Stolz 定理

对数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$：

设 $b_n$ 严格递增且 $\lim_{n\to +\infty} b_n = +\infty$，若 $\lim_{n\to +\infty} \frac {a_n - a_{n - 1}} {b_n - b_{n - 1}} = A$，则 $\lim_{n\to +\infty} \frac{a_n} {b_n} = A$。

设 $b_n$ 严格递减且 $\lim_{n\to +\infty} b_n = \lim_{n\to +\infty} a_n = 0$，若 $\lim_{n\to +\infty} \frac {a_n - a_{n - 1}} {b_n - b_{n - 1}} = A$，则 $\lim_{n\to +\infty} \frac{a_n} {b_n} = A$。

几何证明思路：将 $(a_n, b_n)$ 看成平面上的点。

数列的 L’ Hopital 法则。

导数极限定理（部分）

设 $f : [a, b]\to \R$ 连续，在 $(a, b)$ 内可导，且

\[\lim_{x\to a ^ +} f'(x) = A\in \R \]
则 $f$ 在 $x = a$ 处右侧可导且 $f_+'(a) = A$。

证明

\[f_+'(a) = \lim_{x\to a ^ +} \frac {f(x) - f(a)} {x - a} \]
对等式右侧的极限使用 L’ Hopital 法则即可。

导函数没有可去间断点（再次提到这个性质，回忆 Darboux 定理）。

Taylor 公式

定义

设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，称

\[Tf_{x_0, n} (h) = \sum_{i = 0} ^ n \frac {f ^ {(i)}(x_0)} {i!}h ^ i \]
为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。

用简单的函数（多项式）逼近任意函数。

定理

设 ……，则 $n$ 阶多项式 $P_n(h)$ 满足

\[\begin{aligned} f(x_0 + h) = P_n(h) + o(h ^ n),\quad h\to 0 \quad (\mathrm{Peano}\ 余项) \end{aligned} \]
当且仅当 $P_n$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。

证明：$n = 1$ 易证（注意：充分性和必要性都需要证明）。

假设 $n$ 时结论成立，$f$ 在 $x_0$ 处 $n + 1$ 阶可微。

考虑 $F(h) = f(x_0 + h) - Tf_{x_0, n}(h)$，$G(h) = \frac {h ^ {n + 1}}{(n + 1)!}$，则 $\forall k\in [0, n]$，$F ^ {(k)}(0) = G ^ {(k)}(0) = 0$。当 $h\to 0$ 时

\[\frac {F(h)} {G(h)} = \frac {F(h) - F(0)} {G(h) - G(0)} = \frac {F'(h_1)} {G'(h_1)} = \cdots = \frac {F ^ {(n)}(h_n)} {G ^ {(n)}(h_n)} = \frac {F ^ {(n + 1)}h_n + o(h_n)} {G ^ {(n + 1)}h_n + o(h_n)} \to f ^ {(n + 1)}(x_0) \]
其中 $0 < h_n < h_{n - 1} < \cdots < h_0 = h$，前 $n$ 步使用了 Cauchy 中值定理，最后一步是微分的定义。

最后一步不能使用微分中值定理，没有保证 $F ^ {(n)}$ 在 $(0, h_n)$ 内可导。前面能用的原因：$f$ 在 $x_0$ 处 $n + 1$ 阶可微，于是 $f$ 在 $x_0$ 的邻域上 $k\leq n$ 阶可微。

剩下的处理是容易的。

定理保证了 Taylor 展开的唯一性。

高阶可微性的条件至关重要：$g(x) = \begin{cases} \e ^ {-\frac 1 {x ^ 2}} & x\in \R \bs \Q \\ 0 & x\in \Q \end{cases}$。对任意正整数 $n$，$g(x) = o(x ^ n), x\to 0$，但 $g(x)$ 只在 $x = 0$ 处可微，于是没有高阶导函数，也没有对应的高阶 Taylor 多项式。因此，存在 $P(h)$ 满足 $f(x_0 + h) = P(h) + o(h ^ n), h\to 0$ 并不蕴含 $f$ 有相应的高阶可微性，也不蕴含 $P$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 多项式。

$f\mapsto Tf_{x_0, n}$ 不是单射：$g(x) = \begin{cases} \e ^ {-\frac 1 {x ^ 2}} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ 是 $\mathscr{C} ^ {\infty}$ 函数，它与恒为零的函数具有相同的任意阶 Taylor 多项式。$f(x)$ 和 $f(x) [1 + g(x)]$ 在 $x = 0$ 处有相同的任意阶 Taylor 多项式。

定理

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在区间 $I$ 内 $n + 1$ 阶可微，则对 $I$ 的任何内点 $x_0$ 以及任意 $x\in I$，都存在严格介于 $x, x_0$ 之间使得

\[f(x) = Tf_{x_0, n}(x - x_0) + \frac {f ^ {(n + 1)}(\xi)} {(n + 1)!}(x - x_0) ^ {n + 1} \quad (\mathrm{Lagrange}\ 余项) \]
证明和 Peano 余项类似，只不过最后一步可以将微分定义替换为 Cauchy 中值定理。

Lagrange 余项要求更强的条件：在 $I$ 内 $n + 1$ 阶可微，远强于 Peano 余项的在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。它得到的结论也更强，它刻画了函数在区间 $I$ 上的整体性质，而 Peano 余项只是在 $x_0$ 一点附近的性质，此时 Lagrange 余项较为精确地表示出了 $h ^ {n + 1}$ 前的系数。

微分中值定理的作用：将离得很远的函数值用导数连接在一起。
Peano 余项 Taylor 公式只在极限过程中成立，是局部性质，常用于渐进展开，求极限；Lagrange 余项 Taylor 公式在整个区间上成立，是整体性质，常用于误差分析。

基本初等函数的泰勒公式

\[\begin{aligned} \e ^ x & = 1 + x + \frac {x ^ 2} 2 + \cdots + \frac {x ^ n} {n!} + o(x ^ n),\quad x\to 0 \\ \sin x & = x - \frac {x ^ 3} {3!} + \cdots + \frac {(-1) ^ nx ^ {2n + 1}}{(2n + 1)!} + o(x ^ {2n + 2}),\quad x\to 0 \\ (1 + x) ^ {\alpha} & = 1 + \alpha x + \cdots + \binom {\alpha} {n} x ^ {n} + o(x ^ {n}),\quad x\to 0 \end{aligned} \]

根据函数之间的求导关系，它们的 Taylor 多项式之间也有联系。称 $F$ 是 $f$ 的一个 原函数：$F'(x) = f(x)$，则

\[\begin{aligned} F(x_0 + h) & = F(x_0) & + F'(x_0)h & + \cdots & + \frac {F ^ {(n + 1)}(x_0)} {(n + 1)!}h ^ {n + 1} & + o(h ^ {n + 1}),\quad h\to 0 \\ f(x_0 + h) & = & f(x_0) & + \cdots & + \frac {f ^ {(n)}(x_0)} {n!} h ^ n & + o(h ^ n), \quad h\to 0 \end{aligned} \]

于是，已知 $F, f$ 中任何一个函数的 Taylor 多项式，可据此求出另一个函数的 Taylor 多项式。

基本初等函数的泰勒公式

由 $(\sin x)' = \cos x$ 和 $\sin$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\cos x = 1 - \frac {x ^ 2} {2!} + \cdots + \frac {(-1) ^ n x ^ {2n}} {(2n)!} + o(x ^ {2n + 1}), \quad x\to 0 \\ \]
由 $(\ln (1 + x))' = \frac 1 {1 + x}$，$\ln (1 + 0) = 0$ 和 $(1 + x) ^ {-1}$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\ln (1 + x) = x - \frac {x ^ 2} 2 + \cdots + \frac {(-1) ^ nx ^ {n + 1}} {n + 1} + o(x ^ {n + 1}), \quad x \to 0 \]
由 $(\arctan x)' = \frac 1 {1 + x ^ 2}$，$\arctan 0 = 0$ 和 $(1 + x ^ 2) ^ {-1}$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\arctan x = x - \frac {x ^ 3} {3} + \cdots + \frac {(-1) ^ n x ^ {2n + 1}} {2n + 1} + o(x ^ {2n + 1}), \quad x\to 0 \]
由 $(\arcsin x)' = (1 - x ^ 2) ^ {-\frac 1 2}$，$\arcsin 0 = 0$ 和 $(1 - x ^ 2) ^ {-\frac 1 2}$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\arcsin x = x + \frac {x ^ 3} 6 + \cdots + \frac {(2n - 1)!!x ^ {2n + 1}} {(2n)!!(2n + 1)} + o(x ^ {2n + 1}), \quad x\to 0 \]

易混淆点：注意区分在 $x = 0$ 处展开的 Taylor 多项式在 $x_0$ 附近的取值和在 $x = x_0$ 处展开的 Taylor 多项式在 $0$ 附近的取值。

112 Taylor 公式的计算与应用

内容：

Taylor 公式的计算。
Taylor 公式的应用。

从 “怎么算” 到 “怎么用”，偏向于应用（~~和期中考试~~）的一讲。

计算

计算 Taylor 展开式的办法：

按定义求导。
利用 $T (f')_{x_0, n}(h) = (Tf_{x_0, n + 1})'(h)$ 逐项转化。
利用 Peano 余项 Taylor 公式的唯一性，间接展开：
- 加减乘。
- 除。
- 复合带入。
- 待定系数。

应用

求极限

Taylor 公式的一大应用是求极限。当函数在极限处有高阶导数时，尽量使用 Taylor 公式，因为求导的计算量比较大。

例 $1$

\[\lim_{x\to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x ^ 3} \]
分母是三阶，所以分子也要展开到三阶。

先明确 分子和分母要展开到几阶：分析主项。

例 $2$

\[\lim_{x\to 0} \left(\frac {\sin x} x \right) ^ {\frac 1 {x ^ 2}} \]
解：换底，$f(x) = \e ^ {g(x)}$

\[g(x) = \frac {\ln(\frac{x - \frac {x ^ 3} 6 + o(x ^ 3)} x)} {x ^ 2} = \frac {\ln(1 - \frac {x ^ 2} 6 + o(x ^ 2))}{x ^ 2} = \frac {-\frac {x ^ 2} 6 + o(x ^ 2)} {x ^ 2} \to -\frac 1 6,\quad x\to 0 \]
于是极限为 $\e ^ {-\frac 1 6}$。

例 $3$

\[\lim_{x\to 1} \left( \frac {x} {x - 1} - \frac {1} {\ln x}\right) \]

对于基本初等函数，尽量换元至 $x = 0$ 处展开。

例 $4$

\[\lim_{x\to 0 ^ +} = \frac {\ln \cot x} {\ln x} \]

例 $5$

\[\lim_{x\to 0} \e ^ {-x} \left(1 + \frac{1} {x}\right) ^ {x ^ 2} \]

不可以先对一部分 $x$ 取极限，再对另一部分 $x$ 取极限。

求渐进展开

例 $6$

$x_{n + 1} = \sin x_n$，求 $x_n$ 的渐进展开式。

证明：猜测 $x_n\approx\frac {A} {n ^ {\alpha}}$，根据 $x_{n + 1} = \sin x_n$ 和 $x_n - x_{n + 1} \approx \frac {A} {n ^ {\alpha}} - \frac A {(n + 1) ^ {\alpha}}$ 解得 $\alpha = \frac 1 2$，$A = \sqrt 3$。

证明 $x_n = \sqrt {\frac 3 n}(1 + o(1))$，即计算 $\lim_{n\to +\infty} nx_n ^ 2 = 3$。使用 Stolz 定理和 Taylor 展开。

例 $7$

用圆内接正多边形周长求圆周率的近似值。

解：圆内接正 $3\cdot 2 ^ n$ 边形的周长为

\[L_n = 3\cdot 2 ^ {n + 1} \sin \frac {2\pi}{3\cdot 2 ^ {n + 1}} = 2\pi - \frac {\pi ^ 3} {27 \cdot 2 ^ {2n}} + o\left(\frac {1} {2 ^ {2n}}\right) \]
取 $\lambda = \frac 4 3$，则 $L'_n = (1 - \lambda)L_n + \lambda L_{n + 1} = 2\pi + o(\frac 1 {2 ^ {2n}})$。外推修正。

怎么算修正系数？Taylor 展开。

平面曲线的曲率圆

取切线为 $x$ 轴，法线为 $y$ 轴，使正则曲线局部为 $y = f(x) = ax ^ 2 + o(x ^ 2)$（$a > 0$）。

曲线与 $y$ 轴相切，所以 $y'_t = 0$。于是 $x'_t \neq 0$，$x, t$ 之间有可微反函数关系，于是 $y$ 在局部可以写成关于 $x$ 的函数。
写成 $ax ^ 2 + o(x ^ 2)$ 的原因：在原点处 $y = y' = 0$，于是 Taylor 展开后最高项为二次项。

在 $x = 0$ 处的曲率

\[\kappa = \frac {\left|\det {\begin{pmatrix} x'_x & x''_x \\ y'_x & y''_x \end{pmatrix}}\right|} {(\sqrt {(x'_x) ^ 2 + (y'_x) ^ 2}) ^ 3} = 2a \]

曲率圆

\[x ^ 2 + \left(y - \frac 1 {2a}\right) ^ 2 = \left(\frac 1 {2a}\right) ^ 2 \]

取曲率圆过原点的一段

\[y = \frac {1} {2a} - \sqrt {\left(\frac 1 {2a}\right) ^ 2 - x ^ 2} = \frac {1} {2a} - \frac {1} {2a} \sqrt{1 - (2ax) ^ 2} = ax ^ 2 + o(x ^ 2) \]

所以曲线和曲率圆 二阶相切（其它圆是一阶相切）。

估计 Newton 法的误差

设 $f(x ^ *) = 0$，则

\[x_{n + 1} - x ^ * = x_n - x ^ * - \frac {f(x_n) - f(x ^ *)} {f'(x_n)} = (x_n - x ^ *) \left(1 - \frac {f'(\xi)} {f'(x_n)}\right) = (x_n - x ^ *) \frac {f''(\eta) (x_n - \xi)} {f'(x_n)} \]

而 $|x_n - \xi| \leq |x_n - x ^ *|$，于是 $|x_{n + 1} - x ^ *|\leq \frac {M} m |x_n - x ^ *| ^ 2$，其中 $M$ 是 $|f''|$ 在 $[a, b]$ 上的最大值，$m$ 是 $|f'|$ 在 $[a, b]$ 上的最小值。

这说明 Newton 迭代是 二阶收敛 的，且在 $x ^ *$ 附近收敛极快。

$\e ^ x$ 的无穷级数

将 $\e ^ x$ 在 $x = 0$ 处不断展开，得到幂级数

\[\e ^ x = \sum_{k = 0} ^ {\infty} \frac {x ^ k} {k!} \]

无穷求和怎么定义？部分求和的极限。

将 $x$ 限定在有界范围内：$\forall M\in \N ^ *$，$\forall x\in [-M, M]$，存在 $\xi\in [0, x]$ 使得

\[\e ^ x = 1 + x + \cdots + \frac {\e ^ {\xi}} {(N + 1)!} x ^ {N + 1} \]

所以

\[\abs{\e ^ x - 1 - x - \cdots - \frac {x ^ N} {N!}} \leq \frac {\e ^ M} {(N + 1)!} M ^ {N + 1} := a_N \]

对 $N \geq 2M$

\[0 < a_N < \frac {\e ^ M M ^ {2M}} {(2M)!} \left(\frac 1 2\right) ^ {N - 2M} \to 0, \quad N\to +\infty \]

于是 $\lim_{N\to +\infty} a_N = 0$，于是 $\lim_{N\to +\infty} \left(\sum_{k = 0} ^ N \frac {x ^ k} {k!}\right) = \e ^ x$。

这个定义可以推广到复数 $z$：证明部分和收敛（Cauchy 列，注意证明复数域的 Cauchy 列的极限是复数），将极限定义为 $\e ^ z$。

验证

\[\e ^ z \e ^ w = \e ^ {z + w} \]

\[\left(\sum_{k = 0} ^ {\infty} \frac {z ^ k} {k!} \right) \left(\sum_{j = 0} ^ {\infty} \frac {w ^ j} {j!} \right) = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \sum_{k = 0} ^ {n} \frac {z ^ k w ^ {n - k}} {k! (n - k)!} = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \sum_{k = 0} ^ {n} \frac {\binom n k z ^ k w ^ {n - k}} {n!} = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \frac {(z + w) ^ n} {n!} \]

实际上就是 EGF。

将 $\cos$ 和 $\sin$ 展开得

\[\cos x = \cdots \\ \sin x = \cdots \\ \]

以及

\[\e ^ {\i z} = \cos z + \i \sin z \\ \cos z = \frac {\e ^ {\i z} + \e ^ {-\i z}} 2 \\ \sin z = \frac {\e ^ {\i z} - \e ^ {-\i z}} {2 \i} \\ \]

可以推出和差角公式。

求近似值

求 $\ln 2$ 的近似值。

用带 Lagrange 余项的 Taylor 公式在 $x = 0$ 处展开 $\ln(1 + x)$

\[\ln(1 + x) = \sum_{k = 1} ^ n \frac {(-1) ^ {k - 1} x ^ k} {k} + \frac {(-1) ^ n x ^ {n + 1}} {(n + 1) (1 + \xi) ^ {n + 1}} \]

对 $-\frac 1 2\leq x \leq 1$，有 $\abs{\frac {x} {1 + \xi}} \leq 1$，所以

\[|R_n(x)| = \abs{\frac {(-1) ^ n x ^ {n + 1}} {(n + 1) (1 + \xi) ^ {n + 1}}}\leq \frac 1 {n + 1}\to 0, \quad n\to +\infty \]

113 一个例子

考虑方程

\[xy + \e ^ x - \e ^ y = 0 \]

多元函数微分学。

a

证明 $\forall x\in \R$，上述方程关于 $y$ 在区间 $[x, +\infty)$ 中有唯一解 $y = f(x)$。

由方程定义的隐函数，无法写出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。
WXF：教材上讲了怎么对隐函数求导，但放在一元微积分不合适。对一般的方程论证 $x$ 唯一确定 $y$，目前的知识不够。可以对特殊的方程论证。

证明：固定 $x$，设 $F(y) = xy + \e ^ x - \e ^ y$。

$F(x) = x ^ 2\geq 0$，$F(+\infty) = -\infty$ $\implies$ 零点存在。

$\frac {\d} {\d y}F(y) = x - \e ^ y \leq x - \e ^ x \leq -1 < 0$ $\implies$ 零点唯一。

b

证明 $f: \R \to \R$ 是 $\mathscr C ^ {\infty}$ 函数。

c

求 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的四阶 Taylor 展开式。

虽然不能写出 $y$ 关于 $x$ 的表达式，但可以 Taylor 展开得到近似表达式。

d

讨论 $f$ 的单调性，估计 $f$ 的值域。

e

讨论当 $x\to -\infty$ 和 $x\to +\infty$ 时的渐近线。

JZTXT

微积分 A(1) —— 导数与微分

107 导数与微分

微分和导数

概念

性质

形式不变性

曲线

108 高阶导数

109 微分中值定理

相关概念

定理介绍

应用

导数与单调性

导数与极值

物理应用

110 函数的凹凸性

相关概念

定义

平面参数曲线的凸性

性质与应用

连续性和可微性

最值性

不等式

111 L’ Hopital 法则与 Taylor 公式

L' Hopital 法则

不定型极限

定理介绍

Taylor 公式

112 Taylor 公式的计算与应用

计算

应用

求极限

求渐进展开

平面曲线的曲率圆

估计 Newton 法的误差

\(\e ^ x\) 的无穷级数

求近似值

113 一个例子

a

b

c

d

e