隐圆问题的几种类型
在中考的一些题目中明明没有圆，却要构造出圆进行解答，这些问题是隐圆问题.
隐圆问题可以归纳为几种模型：定点定长，四点共圆，定角定线(直角所对的弦是直径、定弦定角、定角定中线、定角定角平分线、定角定高、定角定周长).
模型一 定点定长
模型解释
 
左图中，若点
是定点，
，则
，
，
在以点
为圆心的圆上；
右图中，若点
是定点，
是定长
，则动点
在以点
为圆心，半径为
的圆上.
例题详讲
例1 如图，点
，
的坐标分别为
，
，
为坐标平面内一点，
，点
为线段
的中点，连接
，
的最大值为 ．
解析 
为坐标平面内一点，
，
(即动点
到定点
的距离等于定长
，由圆的定义可得
的轨迹是圆)
点
的运动轨迹是在半径为
的
上，
如图，取
，连接
，
点
为线段
的中点，
是
的中位线，
，
最大值时，
取最大值，此时
、
、
三点共线，
此时在
中
，
，
的最大值是
．
故答案为：
．
例2 如图，在平行四边形
中，
，
，
，点
在线段
上一动点，连接
，将
沿着
翻折，得
，连接
、
．则
面积的最小值为 ．
解析 要求
面积的最小值，而
是固定的线段，故想到判定动点
的轨迹，求点
到直线
的距离最小值.
将
沿着
翻折，得
，
，
(即动点
到定点
的距离等于定长
，由圆的定义可得
的轨迹是圆；关于旋转或翻转的动点问题可考虑轨迹是圆)
点
在以点
为圆心，
为半径的圆上，
则点
到
的距离最小值等于圆心
到
的距离减去圆的半径
，
如图，过点
作
于
，
在
中，
，
，
，
当点
在
上时，
有最小值
，
面积的最小值
，
故答案为：
．
模型二 四点共圆
模型解释
左图中，若
，则
，
，
，
四点共圆；
右图中，若
，则则
，
，
，
四点共圆.
(这可尝试用反证法证明得到)
例题详讲
例1 如图，已知矩形
中，
，
，点
是边
上的一动点(不与
，
重合)，过
作
于点
，过
作
于点
，作
于点
，连接
，则当
取到最大值时，
的长为 .
解析 
，
，
(四边形
的一对内角互补，
)
，
，
，
四点共圆，且
是直径，
弦
的最大值为
，
此时
，易得
，
又
，
，
，
，解得
或
.
例2 已知：在
中，
，
，
为
上一点，
，
，
，则
的长 ．
解析 连接
，过点
作
于
点，
在
中，
，
，
，
根据等腰三角形性质可知
，
，
，
，
在
中
，
所以
，
，
所以
，
，(四边形
对角互补)
点
、
、
、
四点共圆，
，
．
，
．
．
过点
作
于
点，则
．
在
中
．
故答案为
．
**例3 **如图，已知
中，
，
，
，
，过点
作
的垂线，与
的延长线交于点
，则
的最大值为 ．
解析 
，
，
，
，
， 
，
，
当
有最大值时，
有最大值，
，
点
、
、
、
四点共圆，
若
有最大值，则
应为直径，
，
是圆的直径，
，
的最大值为
．
模型三 定角定线
定角定线包括了“直角所对的是直径”、“定弦定角”、“定角定中线”、“定角定平分线”、“定角定高”、“定角定周长”.
情况1 直角所对的弦是直径
模型解释
点
，
是定点，动点
满足
，则动点
的轨迹是以
为直径的圆.
例题详讲
例 如图，正方形
中，
，动点
从点
出发向点
运动，同时动点
从点
出发向点
运动，点
、
运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段
、
相交于点
，则线段
的最小值为 ．
解析 点
是定点，点
是动点，求线段
的最小值则需要了解点
的轨迹.
动点
，
的速度相同，
，
又
正方形
中，
，
，
在
和
中
，
，
．
，
，
，
点
的路径是一段以
为直径的弧，
(线段
的最小值转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题)
设
的中点为
，连接
交弧于点
，此时
的长度最小，
．
在
中
，
，
，即线段
的最小值为
，
故答案为： 
．
情况2 定弦定角
模型解释
定弦定角指的是一个三角形中有一组对角对边是定值；
比如上面两图中在
中，
，
(
，
是定值)，
若
，
是定点，
是动点，则动点
的轨迹是个圆
，圆心
在线段
中垂线上且满足
（
是锐角时）或
（
是钝角时）.
结论 圆
是
的外接圆，且半径为
，则
.
证明 当
是锐角时，作直径
，连接
，则
，
在
中，
，
又
，所以
，即
.
当
是直角或钝角也易证.
（这结论在定弦定角问题较易可得隐圆的半径）
例题详讲
例1 如图，已知四边形
中，
，
，
，对角线
，则
的最大值为 ．
解析 在
中，
，
，
，(
属于“定弦定角”三角形)
点
在
的外接圆
上，
(
的最大值等于点
到圆心的距离加上半径，故要确定圆的半径和圆心的位置)
的最大值为
，
过点
作
，
垂直
的延长线于点
，
是等腰三角形，且
，
，
，
，
，
，
的最大值为
.
例2 如图，在平面直角坐标系中，等边
的边
在
轴正半轴上，点
，
，点
、
分别从
、
以相同的速度向
、
运动，连接
、
，交点为
，
是
轴上一点，则
的最小值是 ．
**解析 **显然点
是动点，我们了解它的轨迹更好思考问题.
如图，
是等边三角形，
，
，
点
、
分别从
、
以相同的速度向
、
运动，
，
在
和
中
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
(
属于“定弦定角”三角形)
动点
是经过点
，
，
的圆上的点，记圆心为
， 连接
，
，
(
是
轴上一动点，
的最小值等于圆心
到
轴的距离减去半径，即
，故要确定圆心
的位置和圆半径)
设
,
，
，
又
，
，
，
，
,
过点
作
,
圆的半径
，
(利用模型解释中的结论
)
，
，
的最小值为
．
情况3 定角定中线
模型解释
定角定中线指的是：在
中，
的大小和中线
的长度
是定值；
它可以利用倍长中线模型，将其转化为“定弦定角”模型.
转化思路大致如下：延长
至
，使得
，连接
，易得
，
则
，
是定值，那
是属于“定弦定角”的三角形.
例题详讲
**例1 **如图，在
中，
，
是
边的中点，
，求
面积的最大值.
解析 延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
由倍中线模型易得
，
，
，
，
，(倍长中线模型的运用)
则
是一个定弦定角三角形，
(把定角定中线的
问题转化为定弦定角
问题)
， 
，
要
的面积最大，只需
的面积最大.
作
的外接圆圆
，连接
，
，过
作
，连接
并延长，交圆
于
，
，
，
又
，
，
，
要使
的面积最大，只需高
最大，
明显当
与
重合时，高
最大，
，
此时
，
即
面积的最大值为
.
**例2 **如图，在
中，
，
是
的中点，
，求
的最大值.
解析 延长
至
，使
，连接
，
由倍中线模型易得
，
，
，
，
，(倍长中线模型的运用)
延长
到
使得
，连接
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是一个定弦定角三角形，
的最大值就是 
的最大值，
(把定角定中线的
问题转化为定弦定角
问题)
则
的外接圆圆
是个定圆，且直径
，
为圆
的一条弦，其最大值为直径
，即
的最大值为
.
情况4 定角定高
模型解释
定角定高指的是：在
中，
的大小和高
的长度
是定值.
例题详讲
**例1 **已知
中，
，
于
，
，求
的面积的最小值.
解析 定角定高三角形的外接圆不是个定圆，当已知角的对边与外接圆半径存在关系，
求
的面积的最小值只需求
的最小值.
作
的外接圆
，连接
，
，
，过
作
于
，
，易得
，
设圆
的半径为
，则
，
，
，
，解得
，
，
的最小值为
，
的面积的最小值
例2 如图，在
中，
，
上的高
，则
的周长的最小值为 .
解析 延长
至
，使得
， 延长
至
，使得
，连接
，
，
则
， 
， 
的周长
，
，
(
属于定角定高三角形)
作
的外接圆
，连接
，
，过
作
，作
垂直
延长线于
，
易得
，
设圆
半径为
，则
，
，
， 
，解得
，
则
，
F的最小值是
，
的周长的最小值是
.
情况5 定角定平分线
模型解释
定角定平分线指的是：在
中，
的大小和其角平分线
的长度
是定值.
例题详讲
**例1 **如图，已知
中，
，
平分
，交
于
，且
，则
的面积的最小值为 .
解析 
，
平分
，
，
过
作
于
，作
于
，则
，
，
，
，
在
上截取
，则
，
，
(
属于“定角定高”三角形)
，
要使
面积最小，只需
面积最小，
作
外接圆圆
，过
作
于
，连接
，
，
，
，
，
设圆
的半径为
，则
，
，(圆
不是个定圆)
，
，
，
，
面积的最小值为
，
面积的最小值为
.
**例2 **如图，已知
中，
，
平分
，交
于
，且
，则
的面积的最小值为 .
解析 
，
平分
，
，
过
作
于
，作
于
，则
，
，
，
，
延长
至
使得
，则
，
，
(
属于“定角定高”三角形)
，
要使
面积最小，只需
面积最小，
作
外接圆圆
，过
作
于
，连接
，
，
，
，
，
设圆
的半径为
，则
，
，
，
，
，
，
面积的最小值为
，
面积的最小值为
.
情况6 定角定周长
模型解释
定角定周长指的是：在
中，
的大小和三角形的周长
是定值.
这模型可以转化为“定弦定角”、“定角定高”等模型.
1 转化为“定弦定角”
延长
至
，使得
， 延长
至
，使得
，
则
的长等于
的周长，
设
，则
，则
，
是定值，转化为关于
的“定弦定角”模型.
2 转化为“定角定高”
作
旁切圆
(即与
，
与
延长均相切的圆，则
、
、
分别是
、
、
的平分线)，
则由圆的切线长定理可知
，
，
，
的长等于
的周长，即
为定值，
是定值，
是定值，
在
中，
是定值，
为定值， 
的半径
是定值，
是定值，
而
也是定值，
故
属于“定角定高”模型.
例题详讲
**例1 **已知
的周长为
，
，求
的最小值.
解析 作
旁切圆
，连接
，
，
，
过
作
， 
，
，
由切线长定理可得
，
，
，
的周长为
，
，
，
，
，
，
易求
，(
属于“定角定高”的三角形)
作
外接圆圆
，连接
，
，过
作
， 过
作
，
设圆
半径为
，易得
，
则
，
，解得
，
，
的最小值为
.
**例2 **已知
的周长为
，
，
为
边上的高，求
的最大值.
解析 延长
至
，使得
， 延长
至
，使得
，
则
，
， 
，
，
（
属于“定弦定角”三角形）
作
的外接圆
，连接
，
，过
作
，延长
交圆
于
，
的最大值为
，
易得
，
，
，
， 
，
，即
的最大值为
.
**例3 **已知
的周长为
，
，求
面积的最大值.
解析 作
的旁切圆圆
，与
的切点为
，与
，
延长线的切点分别为
，
，连接
，
，
，
易得
，
，
则
， 
，
，
，
的周长为
，
，
又
，
，
在
中，
， 
，
易求
，
是定角定高的三角形，
而
，
求
面积的最大值，只需求
面积的最小值，
作
的外接圆圆
，过点
作
，
设圆的半径为
，
易得
，则
，
，
由
得
，解得
，
，
，
即
面积的最大值为
.