第1章-数字
1.4-自然数的结构
\[f(n) = foldn(c,h)(n)
\]
我对这个符号的理解是，以c为初始值，对初始值进行n次的h操作。
许多东西都可以由这个记号定义，例如自然数序列：
取 \(n = 0, h = succ\) （succ表示后继），则
| n | f |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | succ(0) = 1 |
| 2 | succ(succ(0)) = 2 |
| 3 | succ(succ(succ(0))) = 3 |
| ... | ... |
而对于这个记号，更重要的是它描述了与自然数同构的某种事物。
比如定义操作 \((+m)\) ：
\[(+m) = foldn(m, succ)
\]
则
| n | (+m) |
|---|---|
| 0 | m |
| 1 | succ(m) = 1+m |
| 2 | succ(succ(m)) = 2+m |
| 3 | succ(succ(succ(m))) = 3+m |
| ... | ... |
定义操作 \((· \ m)\) ：
\[(\cdot \ m) = foldn(0, (+m))
\]
则
| n | (· m) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0 + m = m |
| 2 | 0 + m + m = 2m |
| 3 | 0 + m + m + m = 3m |
| ... | ... |
定义操作 \(m^{( \ )}\) ：
\[m^{( \ )} = foldn(1, (\cdot \ m))
\]
则
| n | \(m^{( \ )}\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 · m = m |
| 2 | 1 · m · m = m² |
| 3 | 1 · m · m · m = m³ |
| ... | ... |