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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
解释
(1) 对一块豆腐施加向下
的力与向上
的力，虽然力的大小一样，但方向不同，最后产生的效果不一样.
故研究既有大小又有方向的量是存在实际必要性的，你还能举出生活中什么例子么？
PS 学数学每个知识点要思考其在实际应用或数学理论中的必要性或背景，特别是一新概念；不要把它看成“又多了一个高考知识”，要不你学数学讨厌欧几里得，学物理恨牛顿！
(2) 力、位移、速度等是向量，而只有大小没有方向的量称为数量，如身高、颜值、体积等.
(3) 物理中称向量是矢量，数量为标量.
向量的几何表示
向量可以用有向线段
, 
, 
,…表示，也可以用字母
, 
, 
,….
解释
(1)在线段
中，以
为起点，
为终点，我们就说线段
具有方向，具有方向的线段叫做有向线段；
(2)向量
是以
为起点，
为终点的；起点写在终点前面；
(3)向量
的长度是向量的模，记作
.
常见向量的概念
| 名称 | 定义 | 特点 |
|---|---|---|
| 零向量 | 长度为 的向量，记作 |
零向量的方向是任意的 |
| 单位向量 | 长度为一个单位长度的向量 | 若 是单位向量，则  |
| 相等向量 | 长度相等且方向相同的两个向量 | 相等向量有传递性 |
| 平行向量 | ||
| (共线向量) | 方向相同或相反的非零向量 ， ， |
|
记作  |
零向量和任何向量平行 | |
| 相反向量 | 长度相等方向相反的向量 |  的相反向量记作 (即 ) |
解释
(1) 相等向量
有什么量是会受位置影响的呢？学过物理的都会说：重力，贵哥在月球和在地球的重力肯定不一样的，但是贵哥的颜值则不管在月球还是在地球都是那么高的，颜值这个量就不受位置的影响.
若向量
与向量
的方向相同且大小相等，则
，与向量的起点无关，即说白就是相等向量不受位置的影响，可以任意平行移动的！
(2) 平行向量(共线向量)
平面向量在平面内可以任意平行移动，而线段不一样，则两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一中线段
和
, 在①中是 
，在②中是
、
共线；
(图一)
图二中向量
和
, 对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
故平行向量与共线向量是同一个概念；
(3) 平行向量无传递性(因为有
)；
(4) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量；
(5) 与
共线的单位向量是 
.
【例】 如图，设
是正六边形
的中心，
(1)写出图中的共线向量；(2)分别写出图中与
相等的向量.
解 (1) 
是共线向量； 
是共线向量；
是共线向量.
(2) 
； 
； 
.
基本方法
【题型1】 向量的概念及表示
【典题1】给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
解析 
向量既有大小，又有方向，而数量只有大小，
这
个量中只有速度和位移是向量，
故选：
．
【典题2】给出下列命题
① 由于零向量
方向不确定，故
不能与任一向量平行；
② 若
,
均是单位向量，则
；
③ 若
,
满足 
且
与
同向，则
；
④ 若
，且同一起点，则它们的终点相同；
⑤ 若
, 
, 则
；
⑥ 若
， 
，则 
.
其中正确命题数是哪些？
解析 对于①，规定零向量与任一向量平行，故①错误；
对于②，若
,
均是单位向量，则
，但由于方向不确定，
与 
不一定相等，故②错误；
对于③，平行向量是有方向的量，不能比较大小，其模才能比较大小，故③错误；
对于④， 
，说明两向量大小相等与方向相同，若起点相同，则终点也相同，故④正确；
对于⑤，相等向量具有传递性，故⑤正确；
对于⑥，当
时，不正确，平行向量不具有传递性，故⑥错误；
综上，④⑤正确.
点拨
1.向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量 , 与线段、直线不一样；
2.零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况.
【巩固练习】
1.下列物理量中，不能称为向量的是( )
A．质量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．加速度 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．位移 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．力
2.下列说法中正确的是( )
A．所有单位向量相等
B．零向量是没有方向的向量
C．若
与
是平行向量，则
与 
的方向相同或相反
D．向量
与向量
的大小相等
3.设
是正方形
的中心，向量 
是( )
A．平行向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．有相同终点的向量\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．相等向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．模相等的向量
4.给出下列结论：
(1)若
，则
或
；
(2)向量的模一定是正数；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(4)若
, 则
；
其中正确结论的序号是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案
解析 既有大小，又有方向的量叫做向量；
质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．
而加速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．
故选：
． - 答案
解析 在
中向量
与向量
是相反向量，故
，故
正确． - 答案
解析 因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，
故向量
是模相等的向量，
故选：
． - 答案 (3)
解析 (1)错误．由
仅说明
与
模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2)错误．
的模 
．
(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
(4)错误，
只能说明向量大小相等，但是还需要
,
方向相同，才有
.
【题型2】 相等向量与共线向量
【典题1】 若四边形
满足： 
且 
，则四边形
的形状是( )
A．等腰梯形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．矩形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．正方形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．菱形
解析 四边形
说明
四点不共线，
，
且
,
可得四边形
是平行四边形．
又 
，则四边形
是菱形．
故选：
．
【典题2】如图所示，
是正六边形ABCDEF的中心，且 
， 
， 
，
(1)与
的模相等的向量有多少个？
(2)与
的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与
共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与
，
，
相等的向量．
解析 (1)与
的模相等的向量有
个．
(2)与
的长 度相等且方向相反的向量有 
．
(3)与
共线的向量有 
．
(4)与
相等的向量有 
；与
相等的向量有 
；与
相等的向量有 
．
【典题3】某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从
处出发向西迂回了
到达
地，然后又改变方向向北偏西
走了
到达C地，最后又改变方向，向东突进
到达
处，完成了对蓝军的包围．
(1)作出向量 
；
(2)求 
．
解析 (1)向量
，如图所示．
(2)由题意，易知
与 
方向相反，故
与 
共线．
又
，
在四边形
中，
，
，
四边形
为平行四边形．
， 
．
【巩固练习】
1.下列关于向量的命题正确的是( )
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
2.下列说法中正确的是( )
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若 
，则
与
不是共线向量
- 下列命题正确的是( )
A．若
， 
，则
B．向量
与向量
的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若
， 
，则 
4.如图，在正
中，
，
，
均为所在边的中点，则以下向量和
相等的是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
5.如图，在正六边形
中，与向量 
相等的向量是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
6.向量
是四边形
是平行四边形的 条件(填充分、必要、充要).
7.如图所示，四边形
和
都是平行四边形．
(1 )与向量 
相等的向量为 ；
(2)若
，则向量
的模等于 ．
8.如图，半圆的直径
，
是半圆上的一点，
、
分别是
、
上的点，且
，
，
.
(1)求证： 
；
(2)求 
.
参考答案
- 答案
解析 对于
：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出
，即该选项错误；
对于
：长度不能相互平行，故该选项错误；
对于
：若
，
，显然可得出
，故该选项正确；
对于
：若 
， 
不共线， 
，则该选项错误．
故选：
． - **答案 **
解析 向量不能比较大小，所以
不正确；
需满足两个条件：
与
同向与
，所以
不正确，
正确；
与
是共线向量只需方向相同或相反，所以
不正确． - 答案
解析 选项
，如 
，满足
， 
，但
和
不一定平行，选项
错误，
选项
，根据模的概念知， 
，选项
正确，
选项
，因为两个单位向量平行，方向可能相反，则两个单位向量相等错误，选项
错误，
选项
，向量既有大小又有方向，不能比较大小，选项
错误，
故选：
． - 答案
解析
是
的中位线，
且
，
则与向量
相等的有 
， 
．
故选：
． - 答案
解析 根据相等向量的定义及正六边形的性质，
可得与向量
相等的向量是
．
故选：
． - 答案 必要
解析 向量
可能
四点共线，若四边形
是平行四边形一定能得到
，故填必要. - 答案 (1)
， (2) 
解析 (1)在平行四边形
和
中，
， 
， 
．
(2)由(1)知
，
三点共线， 
． - 答案 (1)略， (2)
解析 (1) 由题意知，在
中，
，
，
，
所以
，
,
因为
是直径，所以
，
所以
，故 
；
(2) 因为
，所以
， 
，
即
，解得 
，即 
.
分层练习
【A组---基础题】
1.下列说法正确的个数是( )
(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
(2)零向量没有方向；
(3)向量的模一定是正数；
(4)非零向量的单位向量是唯一的．
A．
B．
C．
D．
2.下列说法正确的是( )
A．若
，则
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．零向量的长度是
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．长度相等的向量叫相等向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．共线向量是在同一条直线上的向量
3.给出下列命题：
①若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等；
②若
，则
四点是平行四边形的四个顶点；
③若
， 
，则
；
④若
， 
，则
；
⑤相等向量一定是平行向量．
其中不正确命题的个数为( )
A．
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．
4.下列命题中正确的是( )
A．若
，则 
B．若 
，则 
C．若
，则
与
可能共线
D．若
，则
一定不与
共线
5.有关向量
和向量
，下列四个说法中：
①若 
，则 
；②若 
，则 
或 
；
③若
，则 
； ④若
，则
．
其中的正确有( )
A．
B．
C．
D．
6.下列命题正确的是( )
A．若
，则 
B．若 
，则
C．若
，则 
D．若 
，则 
- 设
， 
分别是与
，
同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．
B． 
C． 
D． 
8.如图，在
中，向量
是( )
A．有相同起点的向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．共线向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．模相等的向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．相等的向量
9.如图，在正六边形
中，点
为其中心，则下列判断错误的是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
10.设
是正方形
的中心，则 
中，模相等的向量是 ．
11.如图，
为正方形
的两条对角线的交点，四边形
和四边形
都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)写出与
相等的向量；
(2)写出与
共线的向量；
(3)写出与
的模相等的向量；
(4)向量
与
的是否相等？
12.如图是
的矩形(每个小方格的边长都是
)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量
平行且模为
的向量共有几个? 与向量
方向相同且模为
的向量共有几个?
参考答案
- 答案
解析 (1)温度与功没有方向，不是向量，故(1)错误，
(2)零向量的方向是任意的，故(2)错误，
(3)零向量的模可能为
，不一点是正数，故(3)错误，
(4)非零向量的单位向量的方向有两个，故(4)错误，
故选：
． - 答案
解析 对于选项A，若
，则
与
的模相等，但方向无法确定，即选项
错误；
对于选项
，零向量的长度是
，即选项
正确；
对于选项
，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，即选项
错误；
对于选项
，共线向量是方向相同的向量，规定零向量与任意向量共线，即选项
错误，
故选：
． - 答案
解析 ①若两个单位向量平行但方向不一定相同，故①不正确；②中
、
、
、
可能落在同
一条直线上，故②不正确；③当
时，
与
的方向不确定，故③不正确；
④⑤显然正确，故选
． - 答案 C
解析 若
，但方向不确定，故
错误；
，但是模长可能相同，
错误；
当
，满足
，则
与
共线，
正确；
当
， 
，满足 
，但是
，
共线，
错误．
故选：
． - 答案
解析 因为
的模长为
，且方向是任意的，所以①④正确．
模长相等的两个向量，方向没有任何关系，故②错误．
平行向量．方向相同或相反，但是模长没有关系，故③错误．
故选：
． - 答案
解析 根据零向量的定义知，若
，则 
，
正确；
向量由长度和方向确定，长度相同而方向不同的两向量不相等，
错误；
长度相同，而方向不在同一直线的两向量不平行，
错误；
互相平行的两向量的长度不一定相同，从而这两向量不一定相等，
错误．
故选：
． - 答案
解析 由
， 
分别是与
，
同向的单位向量，
则
与
不一定相等，也不一定相反，也不一定共线，
但
，
所以
．
故选：
． - 答案
解析 由题知
对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等． - 答案
解析 由图可知，
，但 
, 
不共线，故 
，故选：
． - 答案
， 
．
解析
四边形
为正方形，
为正方形的中心，
，即
， 
． - 答案 (1) 与
相等的向量 
，与
相等的向量 
；(2) 
；
(3)
；(4) 不相等
解析 依题意可知
，
,(1) 与
相等的向量 
，与 
相等的向量 
；
(2) 与
共线的向量 
；
(3) 与
的模相等的向量 
；
(4) 向量
与
的不相等，因为它们的方向不相同. - 答案 与向量
平行且模为
的向量共有
个，与向量
方向相同且模为
的向量共有
个.
解析 每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都与
平行且模为
，因为共有
个小方格，所以满足条件的向量共有
个；如图，与向量
方向相同且模为
的向量共有
个.
【B组---提高题】
1.对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
(1)把所有单位向量的起点平移到同一点
；
(2)把平行于直线
的所有单位向量的起点平移到直线
上的点
；
(3)把平行于直线
的所有向量的起点平移到直线
上的点
．
2.如图的方格纸由若干个边长为
的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点
、
．点
为小正方形的顶点，且 
．
(1)画出所有的向量 
；
(2)求
的最大值与最小值．
参考答案
-
答案 (1)是以P点为圆心，以
个单位长为半径的圆．
(2)是直线
上与点P的距离为
个单位长的两个点．
(3)是直线
． -
答案 (1)略，(2)最大值为
，最小值为 
解析 (1)画出所有的向量
如图所示；
(2)由(1)所画的图知，
①当点
在于点
或
时，
取得最小值
；
②当点
在于点
或
时， 
取得最大值 
．
的最大值为√41，最小值为√5．