简单构造，考察眼睛
x^2-a\ln x+(1-a)x+1$
\((1)\) 讨论函数的单调性
\((2)\) 当\(a=1\)时，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\)
解
\((1)\) \(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{a}{x}+1-a=\dfrac{x^2+(1-a)x-a}{x}=\dfrac{(x-a)(x+1)}{x}=0\)
得\(x_1=-1,x_2=a\)
当\(a=-1\)时，\(f(x)\)单调递增
当\(a>-1\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)和\((a,+\infty)\)上单调递增，在\((-1,a)\)上单调递减
当\(a<-1\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,a)\)和\((-1,+\infty)\)上单调递增，在\((a,-1)\)上单调递减
\((2)\)原不等式为\(\dfrac{1}{2}x^2-a\ln x+(1-a)x+1\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\)
即\((2-a)\ln x+(2-a)x+1\leq xe^x\)
即\((2-a)(\ln x+x)\leq xe^x-1\)
即\((2-a)\ln xe^x\leq xe^x-1\)
记\(xe^x=t\)，即\((2-a)\ln t\leq t-1,(t>0)\)
又因\(a=1\)，所以原式为
\(\ln t\leq t-1\)，此为一个重要放缩，证明略.
得证！