每日一?_未定式
1未定式的定义
$$
简单来说就是在求极限的时候遇到的\infty与0的爱恨情仇
$$
0/0
没什么好说的，一般都可以用泰勒展开和等价无穷小替换进行解题。下面给出一些常用的：
$$
当x\rightarrow0时，有：\
ex-1=x+\frac{1}{2}x2+o(x^2)\
tanx=x+\frac{1}{3}x3+o(x3)\
arcsinx=x+\frac{1}{6}x3+o(x3)\
sinx=x-\frac{1}{6}x3+o(x3)\
ln(x+\sqrt{x2+1})=x-\frac{1}{6}x3+\frac{3}{40}x5+o(x5)\
arctanx=x-\frac{1}{3}x3+o(x3)\
ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x2+o(x2)\
$$
其中，反双曲正弦函数比较有意思。
这部分比较简单就不放题目了。
inf/inf
在自变量x趋向inf时，无法对其在0点进行泰勒展开。所以常用的等价无穷小就失效了。这时候我们可以考虑把函数进行等价无穷大替换。
$$
当x\rightarrow\infty时，有：\
高阶幂函数+低阶幂函数\approx高阶幂函数\
高阶幂函数+有界量\approx高阶幂函数\
任意a,b,c>0,有e{ax}+xb+ln^cx\approx e^{ax}
$$
举个例子：
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(1)[1991]\displaystyle \lim^{}_{x \to 0+}{\frac{1-e{\frac{1}{x}}}{x+e{x}}}}\
这里指数函数是趋无穷的,\x是指数函数的低阶无穷大，1是有界量。都被指数函数吸收。答案显然是1 。
$$
$$
(2)[1997]\displaystyle \lim^{}_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4x2+x-1}+x+1}{\sqrt{x2+sinx}}\
这里也是一样的，x方吸收x和常数和sinx，答案显然是3
$$
0*inf
首先可以将这种形式转化成比阶再去计算。也可以直接通过比较无穷大和无穷小的阶数进行解题。
举个例子,这个题还是蛮有意思的：
T1:
$$
(1)[1993]\displaystyle \lim^{}{x \to-\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)\
看-\infty不爽，做换元，令t=-x:\displaystyle \lim^{}-t(\sqrt{t^2+100}-t)\
提出根号里的t得到：\displaystyle \lim^{}{t \to+\infty}-t2(\sqrt{1+(\frac{10}{t})2}-1)\
这里\frac{10}{t}=u，u\to0^+，故可以直接泰勒展开或者用（u-1\approx lnu）进行替换。\
ln替换得到：\displaystyle \lim^{}-t2(ln(\sqrt{1+(\frac{10}{t})2})=\displaystyle \lim^{}{t \to+\infty}-\frac {t2}{2}(ln({1+(\frac{10}{t})2})\
=\displaystyle \lim^{}-\frac {t2}{2}(\frac{10}{t})2=-5
$$
T2:
$$
(2)[2023]\displaystyle\lim^{}{x\to \infty}(2-xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}))\
第一反应倒过代换：I=\displaystyle\lim^{}(2-\frac{sin(t)}{t}-cos(t))\
泰勒展开即可:I=0
$$