泰勒的来历

前置知识：微分（知道微分是一个近似的估计 \(dy \approx \Delta y\)就差不多微分推导）

推导：
当|x|很小，那么\(e^x \approx x + 1, \ln (x + 1) \approx x\)，这种精确并不高，主要是由于由o(x)的高阶无穷小，这里有个知识\(\lim_{x->x_0} f(x)= A\),那么当\(x->x_0的时候f(x) = A + o(x)\)，一个道理，那么为了无限接近图像，这里猜想更多的高次来无限逼近函数(所以说泰勒是对函数图像的无限拟合),
- 下面是对公式的猜想，数学基本上都是靠推理，猜想出来，条件f(x)在\(x_0\)处有n阶导数
- \(P(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2+....+a_n(x - x_0)^n\)(此处全靠猜想)
- 上面用\(p_n(x)模拟了f(x)\)那么\(f(x) - p_n(x)那么久等于一个(x-x_0)的一个高阶无穷小\),也许会有疑问，为什么\(f(x) - p_n(x)\)还是有差值，不为零，那么即使是双胞胎太也有不同，这只是无限的图像逼近，只是项数越多，图像越接近，但是两者始终不完全相等，因为这是无穷项，这是对于现实生活可能满足条件了
- 那么又来假设了，假设\(p_n(x)\)在\(x_0\)处的函数值及他的的n阶导数在\(x_0\)处的值依次与\(f(x_0),f'(x_0)...f^{(n)}(x)\)相同，即满足
- \(p_n(x_0) = f(x_0)\)
- \(p_n'(x_0) = f'(x_0)\)
- \(p_n''(x_0) = f''(x_0)\)
- \(p_{n}^{(n)}(x_0) = f'(x)\)
- 上面公式这是一种粗糙的假设
- 上面这些式子主要是为了求a
- 那么\(a_0 = f(x_0), 1* a_1 = f'(x_0), 2!a_2 = f''(x), .... n!a_n = f^{(n)}(x_0)\)这给
- 求得\(a_0 = f(x_0), a_1 = f'(x_0), a_2=\frac{f''(x_0)}{2!}\),这么求比如2阶导数，那么前面因为小于二阶，最后都为零了，二次后面直接看出无穷小，那么\((x - x_0)^2最后变成2*多少\)
- 由于\(f(x) 近似p_n(x)\)带入a
- \[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \]
- 推导结束

概念：

泰勒是对函数图像的逼近，无限拟合函数，当泰勒展开式越长那么泰勒公式有越接近函数图像

拓展泰勒低阶与高阶
- 泰勒的低阶项，也就是泰勒公式前面的项，是一种粗糙的图像模拟，
- 后面高阶项可以直接包含到\(o(x^n)\)中，
- 具体参考极限与函数的关系 \(\lim_{x->x_0}f(x) = A\) =>当\(x->x->x_0,f(x) = A + o(x)\),这也说明了函数与极限的关系，区间在\(x_0\)的去心领域，只是无限逼近