令斐波那契数列的第 \(i\) 项定义为 \(b_i\) 。
再令 \(f_n = \underset{i = 1}{\overset{n}{\sum}} b ^ 2 _ i\)
结论：\(f_n = b_n \times b_{n + 1}\)
首先，不难发现，该结论对于 \(n = 1\) 和 \(n = 2\) 一定是成立的
\[f_1 = 1 = 1 \times 1
\]
\[f_2 = 1 + 1 = 2 = 1 \times 2
\]
那么，根据数学归纳法，假设该结论对于 \(n = k - 1\) 是成立的，那么
\[f_k = f_{k - 1} + b^2_k
\]
\[= b_k \times b_{k - 1} + b_k^2
\]
\[= b_k \times (b_{k - 1} + b_k)
\]
\[= b_k \times b_{k + 1}
\]
因此，得证