母题1：01背包
考虑 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 个物品体积为 \(j\) 的答案，答案可以从前 \(i-1\) 个物品继承或选取当前物品，\(f[i,j]=\max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w)\)。
母题2：完全背包（from 1）
状态同上，转移本来应该为 \(f[i,j]=\max(f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,\dots,f[i-1][j-kv]+kw)\)（设 \(j-kv\ge 0,j-(k+1)v<0\)）。发现 \(f[i,j-v]=\max(f[i-1][j-2v]+w,f[i-1][j-3v]+2w,\dots,f[i-1][j-kv]+(k-1)w)\)，恰好是少了一个 \(w\)，于是我们可以用 \(f[i,j]=\max(f[i][j-v]+w)\)。
母题3：多重背包（from 1）
转移应该为 \(f[i,j]=\max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j-2v]+2w,\dots,f[i-1,j-sv]+sw)\)（这里不管超出的情况）。
可以直接暴力，也有两种优化：
- 二进制优化，很好理解，对于一个物品若可选 \(5\) 个，可以拆成两个物品 \(1\) 倍和 \(4\) 倍，然后做
01背包，带一只 \(\log\)。 - 单调队列优化，不好理解，就是对于 \(j\bmod v\) 同一个余数的情况一起处理，发现对于每种物品就是长度为 \(s\) 的定长滑动窗口求最值模型。
母题4：分组背包（from 1）
就是某些物品在一个组内，组内只能选其一。
转移可以用 \(f[i,j]=f[i-1,j-v_k]+w_k\)（注意，同一组的物品对应一个 \(i\)，这样从上一层转移可以保证不会出现一组内的物品选多个）。
母题5：有依赖的背包问题（from 4）
考虑树形 DP。
处理出子树内的答案，然后根节点必选，子树内就是分组背包，有体积那么大的个数在一组内。
以上就是5个模型
变式1
类背包，表示状态类似于，体积变为余数，考虑 \(+,\times\)。01背包模型
2
用小的组合出大的，就是给定一些物品，问凑出的个数，考虑完全背包（母题2），改变一下属性为 bool。
3
本质还是背包，分类讨论，状态是由差值表示。01背包模型
4
利用背包求解博弈论，需要知道基本的必胜态、必败态。
然后考虑余数。01背包模型
5
01背包套矩阵快速幂。
总结
背包问题一般比较难的都是01背包（变式2很明显是完全背包，而且转移就是基本的转移，比母题还简单）。
题目中出现的数值可以成为“体积”。
转移有时需要分类讨论。