A. Helmets in Night Light
按花费 sort 一下，\(b<p\) 就让他用 \(b\) 的花费告诉别人，剩下的人一开始用 \(p\) 的花费告诉即可。
B. Effects of Anti Pimples
发现一个数会被所有它的因数贡献，\(O(n\sqrt{n})\) 随便算一算，式子略。
C. Autosynthesis
Solution 1
想到了建图但没有完全想到，于是有了这个神秘做法。
题意等价于选择一个 下标集合，使它和 它补集对应的值域集合 相等。设它们分别为 \(S,T\)。
由于不同位置的 \(a_i\) 有可能相等，设 \(|S|\) 表示 \(S\) 的元素个数，则有 \(|T|\le |S|\)。
考虑 \(|S|>|T|\) 的情况，则一定至少存在一个下标 \(i\in [1,n]\)，\(i\) 没在值域集合里出现过。那么如果在 \(S\) 集合选择下标 \(i\)，没法找到一个数在 \(T\) 集合里与它对应。根据这一点我们可以判断哪些下标一定不选。
对于一定不选的下标 \(i\)，则根据补集的定义值为 \(a_i\) 的数一定在 \(T\) 中被选，同时下标为 \(a_{a_i}\) 的数一定在 \(S\) 中被选。以此类推，只要还满足 \(|S|>|T|\) 我们就可以一直把已经确定选不选的数从集合里去掉，直到 \(|S|=|T|\)。
考虑 \(|S|=|T|\) 的情况，这等价于 \(T\) 是一个 \(1\sim n\) 的排列。如果把值 \(a_i\) 选进 \(T\)，下标 \(a_i\) 就必须在 \(S\)。限制等价于下标 \(i\) 和 \(a_i\) 只能选一个，连边 \(i\to a_i\)，判图上有没有奇环即可。
Solution 2
一开始就考虑按 \(i\to a_i\) 的方式建图，那么每个点有一条出边，图是一个内向基环树森林。
分类讨论下标 \(i\) 选不选：
- 不选点 \(i\)，则点 \(a_i\) 一定被选。
- 选点 \(i\)，则至少有一个 \(a_j=i\) 的下标 \(a_j\) 不被选。
只考虑树上的答案，限制就变成在树上选择一些点，每个点要么儿子和父亲全被选，自己不选；要么儿子不全被选，自己被选。
显然所有叶子都不能选，从叶子向根依次考虑答案即可。然后图上就只剩下了若干个环，回到了 Solution 1 的第二种情况。
代码是 Solution 1。
Code
const int N=2e5+5;
int flag[N],a[N],n,cnt[N];
queue<int> q;
void dfs(int u)
{
if(flag[a[u]]==flag[u]) {printf("-1\n");exit(0);}
else if(flag[a[u]]!=-1) return;
flag[a[u]]=flag[u]^1;
dfs(a[u]);
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),cnt[a[i]]++;
for(int i=1;i<=n;i++) flag[i]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++) if(!cnt[i]) q.push(i);
while(!q.empty())
{
int u=q.front(); q.pop()，flag[u]=0;
if(flag[a[u]]==0) {printf("-1\n");return 0;}
int lst=flag[a[u]]; flag[a[u]]=1;
if(lst==-1)
{
cnt[a[a[u]]]--;
if(!cnt[a[a[u]]]) q.push(a[a[u]]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(flag[i]==-1) flag[i]=1,dfs(i);
int qwq=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(!flag[i]) qwq++;
printf("%d\n",qwq);
for(int i=1;i<=n;i++) if(!flag[i]) printf("%d ",a[i]);
cout<<endl; return 0;
}
D. Lexichromatography
被诈骗了 & 不能觉得不会下分就过完 C 摆烂啊！
Description
给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，要求将序列每个位置染成红色或蓝色，且满足以下条件：
- 将染成红色和蓝色的数分别拼成两个序列，蓝色序列的字典序小于红色；
- \(a\) 的每个子段都满足对于子段内任意的 \(x\)，\(a_i=x\) 的所有位置 \(i\) 染成红色和蓝色的数量相差不超过 \(1\)。
求不同的染色方案数，答案对 \(998\,244\,353\) 取模。\(n,a_i\le 2\times 10^5\)。
Solution
有字典序大小的限制是不好计算答案的，但是这条性质是诈骗。对于任意一种两序列不相等的染色方案，我们把红蓝对调一下，发现这两种方案里一定恰好有一个满足字典序的限制。
也就是说在满足第二条限制的情况下，设总染色方案数为 \(All\)，两序列相等的方案数为 \(cnt\)，则 \(ans=\frac{All-cnt}{2}\)。
第二条限制实际就是说我们对于每个 \(x\)，把 \(a_i=x\) 的位置取出来拼成一个序列，序列里相邻的两个数颜色相反。令不同的 \(a_i\) 为 \(col\)，对于每种 \(a_i\) 确定第一个的颜色就可以确定所有，即 \(All=2^{col}\)。
考虑如何求红蓝序列相同的方案数。
首先如果某种 \(a_i\) 出现了奇数次就直接寄了，否则我们把 \(a_i\) 相同的位置从左到右两两分组形成一些线段，限制是每条线段的左右端点不同色。
分类讨论线段 \([a,b]\) 和 \([c,d]\) 的位置关系。
如果两条线段没有交集，它们怎么染色互不影响；如果有包含关系，怎么染色都不能让序列相等，令 \(cnt=0\)。
否则就是它们有交集的情况，设 \(a<c<b<d\)。那么 \(a,c\) 一定同色，\(b,d\) 一定同色。
发现我们的限制的形式都是某两点颜色相同 / 相反，使用形如食物链一题的扩展域并查集维护。那么设连通块个数为 \(block\)，则 \(cnt=2^{block}\)。
实现上，我们对每个线段不用向所有与它有交的线段连边。因为两个与它有交的线段之间也有交，它们一定之前已经连通。所以在其中随便找一个连即可，这样时间复杂度就对了，为 \(O(n\log n)\)。
Code
#define int long long
const int N=4e5+5,mod=998244353;
const int inv2=((mod+1)>>1);
int n,a[N];
int lst[N],tot[N],fa[N];
int find(int x) {return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void merge(int x,int y)
{
if(find(x)==find(y)) return;
fa[find(x)]=find(y);
}
struct node{int l,r;} e[N];
vector<int> t[N];
int cnt,all=1,ans=1,b[N];
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=b[i]=read();
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
for(int i=1;i<=(n<<1);i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(lst[a[i]])
{
merge(lst[a[i]],i+n),merge(lst[a[i]]+n,i);
if(tot[a[i]]&1) e[++cnt]={lst[a[i]],i};
}
tot[a[i]]++,lst[a[i]]=i;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) t[e[i].l].push_back(e[i].r);
for(int i=1;i<=n;i++) if(tot[i]) all=all*2%mod;
for(int i=1;i<=n;i++) if(tot[i]&1) {printf("%lld\n",all*inv2%mod);return 0;}
set<int> s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(auto j:t[i])
{
if(s.upper_bound(j)!=s.end()) {printf("%lld\n",all*inv2%mod);return 0;}
if(!s.empty())
{
int r=*s.begin();
merge(j,r),merge(j+n,r+n);
}
s.insert(j);
}
s.erase(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(find(i)==i) ans=(ans<<1)%mod;
ans=(all-ans+mod)%mod*((mod+1)/2)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
E. Ball-Stackable
Description
给你一棵 \(n\) 个点的树，其中有一些边方向给定，剩下的边由你来决定方向。同时你要给每条边染一个颜色。
现在有一个人在树上走，他有一个栈，当他经过一条边时会进行如下操作：
- 如果他走的方向与边的方向相同，往栈里放一个与该边颜色相同的球。
- 如果他走的方向与边的方向相反，从栈顶取出一个球丢掉。
一个路径合法当且仅当每次走相反的边之前栈都不为空。
你构造的方案要满足对于任意合法路径，每次走反向边时取出的球都恰好与该边颜色相同。在此基础上使边的颜色数最多，并输出方案，无解输出 -1。
\(n\le 10^5\)。
Solution
首先让所有边都是一个颜色肯定是符合条件的，不可能无解。
考虑什么样的东西会对总颜色数产生限制，手玩样例可以发现如果一个点有很多条入边，那么这些入边的颜色必须都相同（否则从一个走向另一个就会没有对应颜色的球）。我们定向的时候希望这样的点尽量少。
知道这一点，如果没有已经定向的边就好做了，我们选一个根把树定向成外向树，那么没有点入度大于 \(1\)，颜色数可以达到 \(n-1\)。
对于有定向边的情况，假设已经确定了根，那么我们把未定向的边按外向树方向定向。这时树中会出现一些反向边。
那么对于任意从根出发的路径，走一个反向边之前栈顶的球颜色都是确定的，维护从根直着走下来的栈顶颜色，把它设为该颜色即可。证明很简单，因为如果中间走过别的子树肯定是每条边正反走两遍，贡献会在出子树时都退掉。
使用换根 dp 求出每个点作为根的答案即可。
对于每次栈不能为空的限制，我们考虑如果当前根是 \(rt\)，不合法的点是 \(x\)。不合法代表这条路径上反向边比正向边多，那么把根换成 \(x\) 只会取反 \(rt\to x\) 路径上的所有边，一定可以使路径合法，且答案更优。所以我们找到的最优答案所在的根一定满足栈不为空的限制条件。
Code
const int N=1e5+5;
int n;
struct edge{int nxt,to,w;} e[N<<1];
int head[N],cnt,col;
il void add(int u,int v,int w) {e[++cnt]={head[u],v,w};head[u]=cnt;}
int f[N],mx,rt;
void dfs1(int u,int fa)
{
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].to^fa) f[1]+=(e[i].w!=-1),dfs1(e[i].to,u);
}
void dfs2(int u,int fa)
{
if(f[u]>mx) mx=f[u],rt=u;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].to^fa) f[e[i].to]=f[u]-e[i].w,dfs2(e[i].to,u);
}
vector<int> q;
void dfs3(int u,int fa)
{
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].to,c=0; if(v==fa) continue;
if(e[i].w==-1) printf("%d %d %d\n",v,u,c=q[q.size()-1]),q.pop_back();
else printf("%d %d %d\n",u,v,++col),q.push_back(col);
dfs3(v,u);
if(e[i].w==-1) q.push_back(c); else q.pop_back();
}
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int u=read(),v=read(),w=read();
add(u,v,w),add(v,u,-w);
}
dfs1(1,0),dfs2(1,0); printf("%d\n",mx);
dfs3(rt,0);
return 0;
}
F/G
没有官方题解。没有洛谷题解。咕。