能够用 \(1\times l\) 的矩形覆盖 \(n\times m\) 棋盘的充要条件是 \(l\mid n\lor l\mid m\)。
充分性显然，考虑证明必要性。
为了方便，我们将行和列记为 \(0\sim n-1\) 和 \(0\sim m-1\)。考虑设 \((i,j)\) 的权值为 \(\omega_{l}^{i+j}\)，一个 \(1\times l\) 的矩形覆盖的区域显然和为 \(0\)。
则棋盘权值总和为
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{m-1} \omega_l^i\omega_l^j \\
=&\left(\sum_{i=0}^{n-1} \omega_l^i\right)\left(\sum_{i=0}^{m-1} \omega_l^i\right)
\end{aligned}\]
当 \(l\not\mid n\land l\not \mid m\) 时显然上式不为 \(0\)，即证。