观前提示：作者期望水平不高，如果公式等有错欢迎指出
我们知道，（粗略地来说）期望是一系列事件的结果乘上发生的概率。
考虑到 \(n-1\) 位时连续长度的期望：\(EX=\sum x_ip_i\)，如何用它求出下一位的期望？若 \(n\) 发生，则 \(x\) 的长度增加；否则原地消失。\(EX=\sum x_{i+1}p_ip_n+0\). 因此，\(E_n=(E_{n-1}+1)p_n\)。
不难发现，\(\sum x_ip_i\) 中 \(x_i\) 可以为 \(0\)，这不影响期望的大小，且转移时的 \(+1\) 包含了从 \(0\) 到 \(1\) 的情况。
接下来是二次期望；由于 \(E(X^2) \not = E(X)^2\)，因此我们不能偷懒。但有了一次的经验，我们只要考虑它如何转移。\(E(X^2)=\sum x_i^2p_i\)，转移到下一个 \(n\) 时:
\[\begin{align*}
E(X^2) & =\sum (x_i+1)^2p_ip_n \\
& = p_n (\sum x_i^2p_i + \sum 2x_ip_i + \sum 1p_i) \\
& = p_n (E_{n-1}(X^2) + 2EX + 1)
\end{align*}\]
关于最后一步：我们知道 \(p_i\) 是相等的，算上 \(x_0p_0\) 这一项后 \(\sum p_i=1\)（\(x_i\) 的长度在 \([0,p_n]\) 间的概率是 \(1\)）。
同样地，\(E(X^3)\) 也能推出来。