习题集1
第一章：分析引论
1.实数
【1】证明\(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\)
\[证明：当n=1时，等式1=1\times\frac{1+1}2=1，成立\\
设当n=k时，等式成立，则1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}2\\
则对于n=k+1,1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}2+k+1=\frac{(k+2)(k+1)}2，等式成立\\
数学归纳法可知，1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2
\]
【2】证明\(1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\)
\[证明：当n=1时，等式1=\frac{1\times(1+1)\times(1\times2+1)}6=1,成立\\
设当n=k时，等式成立则1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6\\
则对于n=k+1，1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}6，等式成立\\
数学归纳法可知，1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6
\]
【3】证明\(1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2\)
\[证明：当n=1时，等式1^3=1^2=1，等式成立\\
设当n=k时，等式成立则1^3+2^3+\dots+k^3=(1+2+\dots+k)^3\\
当n=k+1，1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+\dots+k)^2+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}4+(k+1)^3=\frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}4=\frac{(k+2)^2(k+1)^2}4=[1+2+\dots+k+(k+1)]^2，等式成立\\
数学归纳法可知，1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2
\]
【4】证明\(1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1\)
\[证明：当n=$时，1=2-1=1，等式成立\\
设n=k时，等式成立则1+2+4+\dots+2^{k-1}=2^k-1\\
当n=k+1时，1+2+4+\dots+2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2^{k+1}-1，等式成立\\
数学归纳法可知，1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1
\]