啊啊是的，又来学网络流了。
网络
设有一张有向图 \(G = (V,E)\)，每条边 \((u,v) \in E\) 都有一个权值 \(c(u,v)\)，称为容量，当 \((u,v)\not\in E\) 的时候有 \(c(u,v) = 0\)。
在这之中有两个特殊的点：源点 \(S \in V\) 和汇点 \(T \in V\)。
流
设定义域在二元组 \((u\in V, v\in V)\) 上的实数函数 \(f(u,v)\) 且满足：
- 容量限制：对于每条边，都有 \(f(u,v)\le c(u,v)\)。
- 斜对称性：对于每条边，都有 \(f(u,v) = -f(v,u)\)。
- 流守恒性：从源点流出的流量 \(=\) 汇点流入的流量，即：
\[\forall x \in V - {S,T},\sum_{(u,v)\in E}f(u,x) = \sum_{(x,v)\in E} f(x,v)
\]
我们就称 \(f\) 是网络 \(G\) 的流函数，对于 \((u,v) \in E\)，我们称 \(f(u,v)\) 为边的流量，\(c(u,v) - f(u,v)\) 称为边的残余容量。整个网络的流量为 \(\sum_{(S,v)\in E}f(S,v)\)，即从源点 \(S\) 发出的所有流量之和（流守恒性）。
这里再给一个酷炫的定义：
\[f(u,v)=
\begin{cases}
f(u,v) && (u,v)\in E\\
-f(v,u) && (u,v) \in E\\
0 && (u,v)\not\in E,(v,u) \not\in E
\end{cases}
\]