实分析基础

Holder与卷积不等式

首先从经典的Holder不等式入手.

命题: 经典情况下的Holder不等式

设\((X,\mu)\)是测度空间, \((p,q,r)\in[1,\infty]^3\)满足

\[\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r} \]

如果\((f,g)\in L^p(X,\mu)\times L^q(X,\mu)\), 则\(f\cdot g\in L^r(X,\mu)\), 且

\[\parallel f\cdot g\parallel_{L^r}\le\parallel f\parallel_{L^p}\cdot\parallel g\parallel_{L^q} \]