快速幂
- 算法作用
快速幂可以用来优化\(a^b\%p\)的计算，暴力做法计算n个\(a^b\%p\)的时间复杂度没o(nb),而快速幂可以将时间复杂度降到o(nlogn)。
-算法内容
先初始化\(a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2}\dots a^{2^{logb}}\)这b个数，由算术基本定理\(a^b\)可以用这b个数的组合的乘积来表示，其实就是将b用2进制表示，然后只需要对\(a^{x_1},a^{x_2},a^{x_3}\dots a^{x_{logb}}\)这logb个数求模再相乘即可[1]。
-算法实现
给定n组a,b,p，求每个组的\(a^b\%p\)的结果
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL quick_mod(int a,int b,int p)
{
LL res=1;
while(b)
{
if(b&1)
{
res=res*a%p;
}
b>>=1;
a=(LL)a*a%p;//这里取不取余其实对结果没影响但是可能会让数据过大爆int
}
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,b,p;
scanf("%d %d %d",&a,&b,&p);
cout<<quick_mod(a,b,p)<<endl;
}
return 0;
}
- 代码细节
&的使用[2]
\[(a\ast b)\%c=(a\%c*b\%c)\%c\\
(a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c
\]