1:分布的定义和性质

1.1: 基本空间$\mathscr{D}(X)$.

设$X$是$\mathbb{R}^n$空间中的一个开集,$u$是$X$上的一个函数,称:

\[F=\{x|u(x)\ne 0\} \]

的闭包为$u$关于$X$的支集,记为$\mathrm{supp}u$.

对$k\ge 0$,$C_0^{k}(X)$表示支集在$X$内紧的全体$C^{k}(\bar{X})$函数所组成的集合,显然我们有:

\[C_0^{\infty}(X)\subset \cdots\subset C_0^{k+1}(X)\subset \cdots\subset C_0^0(X) \]

例1: $C_0^{\infty}(X)$非空.

函数$j(x):=\begin{cases} e^{-1/1-|x|^2},|x|<1\\0,|x|\ge 1 \end{cases}$

定义2(基本空间$\mathscr{D}(X)$) : 在集合$C_0^{\infty}(X)$中定义如下的收敛性:称$\{\varphi_j\}$在$C_0^{\infty}(X)$中收敛到$\varphi_0$是指:

(1):存在相对$X$的紧集$K\subset X$使得：
\[\mathrm{supp}(\varphi_j)\subset K \]
(2):对于任意的多重指标$\alpha$,都有:
\[\max_{x\in K}\left| \partial^{\alpha} \varphi_j(x)- \partial^{\alpha} \varphi_0(x)\right|\to 0,j\to \infty \]

带上述收敛性的线性空间$C_0^{\infty}(X)$称为基本空间$\mathscr{D}(X)$.

1.2:分布

定义3:$\mathscr{D}(X)$上的一切连续线性泛函都称为广义函数或者分布.即这样的泛函$u:\mathscr{D}(X)\to \mathbb{R}$或者是$\mathbb{C}$,满足:

(1): 线性;
(2): 对任意的$\{\varphi_j\}\subset \mathscr{D}(X)$,只要$\varphi_j\to \varphi_0(\mathscr{D}(X)$,都有
\[\left\langle f, \varphi_j\right\rangle \rightarrow\left\langle f, \varphi_0\right\rangle \quad(j \rightarrow \infty) . \]

一切广义函数所组成的集合记为$\mathscr{D}'(X)$.

另外常见的分布的等价定义还有：

定义3':$C_0^{\infty}(X)$上的一个线性泛函$u$被称为分布是指:对任意的紧子集$K\subset X$,都存在$C,k$使得:

\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

显然这里的$C,k$都和$K$有关.

定理4(定义的等价性): 定义3和3'是等价的.

证明: 3'推3是显然的,我们证明另一个方向.

假设不然.则存在紧集$K$,对任意的$j\in \mathbb{N}^* $,可以找到$\phi_N$:

\[|\langle u,\phi_N\rangle|/\sum_{|\alpha|\le N}\sup |\partial^{\alpha}\phi_N|\ge N,\phi_N\in C_c^{\infty}(K) \]

我们取：

\[\psi_N(x):=\phi_N(x)/\sum_{|\alpha|\le N}\sup |\partial^{\alpha}\phi_N| \cdot \frac{1}{N} \]

因此：

\[\sup_{x\in K}|\partial^{\alpha}\psi_N|\le \frac{1}{N} \]

因此$j\to \infty$是,$\psi_N$在$\mathscr{D}(X)$中收敛到0,从而：

\[\langle u,\psi_N \rangle\to 0 \]

但是

\[|\langle u,\psi_N \rangle|\ge 1 \]

因此得到了矛盾.故定理得证.

1.3:分布的例子

例5($\delta$函数/Dirac分布): 定义：

\[\langle \delta ,\phi\rangle =\phi(0),\forall \phi\in \mathscr{D}(\mathbb{R}^n) \]

容易验证$\delta\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)$.

另外我们用$\delta_y$表示这样的分布:

\[\langle \delta_y ,\phi\rangle =\phi(y),\forall \phi\in \mathscr{D}(\mathbb{R}^n) \]

例6(局部可积函数): 对任意的$f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$,我们定义分布:

\[\langle f ,\phi\rangle =\int f\cdot \phi\mathrm{d}x,\phi\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n) \]

现在我们验证这是一个分布:对任意的紧集$K$,我们都有:

\[|\langle f ,\phi\rangle |\le \sup_{x\in K}|\phi| \cdot \int_{K}|f|\mathrm{d}x \]

注: 因此任何一个局部可积函数我们均可以按照例6的方式看作是一个分布,以后如果我们称一个函数是分布,均是按照例6的这种方式定义.

1.4 :分布的阶数

定义7: 分布$u\in \mathscr{D}'(X)$被称为是有限阶的:如果对任意的紧子集$K\subset X$,都可以找到一个公共的$k\in \mathbb{N}$使得

\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

成立.使得该式成立的最小正整数$k$称为$u$的阶数.阶数$\le m$的分布构成的向量空间我们记为$\mathscr{D}^{'m}(X)$.

它和一般的分布有一些关系:

定义8: 序列$\varphi_j\in C_c^{m}(X)$在$C_c^m(X)$收敛到$\varphi$是指:

1.存在一个相对$X$的紧集$K\subset X$使得:
$$
\mathrm{supp} (\varphi_j) \subset K
$$
2.对任意的多重指标$|\alpha| \le m$,都有:

\[\max_{x\in K} \left|\partial^{\alpha} \varphi_j(x)-\partial^{\alpha} \varphi(x)\right| \to 0 \]

定理9: 设$0\le m<\infty$,对$\mathscr{D}^{'m}(X)$上的分布$u$,可以唯一的延拓到$C_c^m(X)$上的序列连续线性泛函.反之,将$C_c^m(X)$上的连续线性泛函限制在$\mathscr{D}'(X)$上是$\mathscr{D}^{'m}(X)$中的一个元素.

证明: 对任意的$\psi\in C_0^k(X)$上我们可以寻找序列$\phi_j\in \mathscr{D}'(X)$,使得$\mathrm{supp}(\phi_j)\subset K_{\delta}\subset X$,其中$K_{\delta}$是$\mathrm{supp}\phi$的一个邻域使得:

\[\sum_{|\alpha|\le k}\sup|\partial^{\alpha}(\phi-\phi_j)|\to 0,j\to \infty \]

我们必须定义:$u(\phi):=\lim_{j\to \infty}u(\phi_j)$,极限是存在的,这是因为$u(\phi_j)$是一柯西列:

\[|u(\phi_j)-u(\phi_l)|=|u(\phi_j-\phi_l)|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup|\partial^{\alpha}(\phi_l-\phi_j)| \]

因此$u$的定义与序列的选取无关.直接可以验证这是一个分布,并且对$\phi\in C_c^k(X)$也是成立的,因此我们得到了这样定义的$u$是$C_c^k(X)$上的一个连续线性泛函.

注: 由此可见带有阶数的分布的作用对象可以推广到更大的空间($C_c^m(X)$).

例10: 设$x_0\in X$,定义$u\in\mathscr{D}^{'}(X)$为$u(\phi):=\partial^{\alpha}\phi(x_0)$,则$u$的阶数为$|\alpha|$.

证明: 首先可以看出$u$的阶数是小于等于$|\alpha|$的.因此我们证明对任意的$|\beta|<|\alpha|$阶数不会$\le |\beta|$.我们取$\psi\in \mathscr{D}^{'}(X)$,并且$\psi(0)=1,$记$\psi_{\delta}=(x-x_0)^{\alpha}\psi((x-x_0)/\delta)$,显然$u(\psi_{\delta})(0)=\alpha!$.并且:

\[\sup|\partial^{\beta}\psi_{\delta}|\le C|\delta|^{|\alpha|-|\beta|} \]

因此当$\delta\to 0$时,上述极限为0.故阶数不可能为$|\beta|$.

1.5:分布的支集

现在我们可以将函数的支集推广到分布：

定义11: 设$\mathscr{D}^{'}(X)$,$u$的支集$\mathrm{supp}u$定义为集合

\[\{x:u=0,\text{在}x\text{的某个邻域内}\} \]

的补集.

例12: $\delta$函数的支集是$\{0\}$.

证明:对任意的$x\ne 0$,存在$r$使得$B(x,r)\subset \mathbb{R}^n-\{0\}$,对任意的紧集$K\subset B(x,r)$我们都有：

\[(\delta,\phi)=\phi(0)=0 \]

因此$x$不在支集内.故支集为$\{0\}$.

定理13: 设$u\in \mathscr{D}^{'}(X)$,且$\phi\in C_c^{\infty}(X)$,若 $u$和$\phi$的支集不交,则$\langle u,\phi \rangle =0$.

证明: 即$K=\mathrm{supp}\phi$,对任意的$x\in K$,都存在$x$的邻域使$u$在该邻域为0.取$K$的一族有限开覆盖$X_1,\cdots,X_m$,以及单位分解$\psi_i$,因此我们就有:

\[|\langle u,\phi\rangle|=|\langle u,\sum_{i=1}^{m}\phi\psi_i\rangle|=\sum_{i=1}^{m}|\langle u,\phi\psi_i\rangle|=0 \]

因此定理得证.

推论14: 如果$u\in \mathscr{D}^{'}(X)$,并且在$X$的每个点的邻域都为0,则$u=0$.

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分布理论读书笔记1

1:分布的定义和性质

1.1: 基本空间\(\mathscr{D}(X)\).

1.2:分布

1.3:分布的例子

1.4 :分布的阶数

1.5:分布的支集