关于MATLAB对时域离散信号FFT后绘制的频谱图理解-JZTXT

FFT 与（低通）采样定理

1）FFT原理（从连续信号的FT 到采样信号的FT 到离散时域信号的DTFT 到频域离散的DFT）

a)连续信号的傅里叶变换（公式动手搜索吧），顾名思义，对连续信号做傅里叶变换，关于绘图，有一个很相关的性质：共轭对称性（想了解更多，请随手百度）

共轭对称性，将意味着，如果是一个实信号，那么它的频谱图是一个偶函数（关于Y轴对称），这点很重要。

b)离散时域信号的DTFT（请注意，这里还是傅里叶变换啦，信号还是连续的信号，不过是时域离散的采样信号）

由奈奎斯特采样定理（就是那个，一个条件，一个关系：采样信号的频谱与原模拟信号的频谱之间的关系，以及由采样信号能够无失真地恢复原模拟信号的条件【还是叙述一下吧：（1）对连续信号进行等间隔的采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性延拓形成的！（2）若连续信号是带限信号最大频率为Ωc，若要无失真地恢复信号，就必须令采样频率Ωs足够高，大于等于两倍的Ωc，这样，这个时域离散的连续信号就能完全代表原模拟信号！只需要通过一个截止频率为Ωs/2，增益为T的低通滤波器，就得到了无失真的原连续信号。】）我们知道，如果发生混叠，那么混叠程度最高的地方就是Ωs/2（我也不知道为什么总是听到混叠程度最高处是这里，个人认为应理解为：混叠总是发生在Ωs/2处及附近即可）。（这里也很重要，这个混叠程度最高的地方，也成为折叠频率，简单给个图吧1-1，采样信号的频谱图）

c）这里再给予一个桥梁: ω=ΩT，这个等式联系了采样信号的FT与由采样信号得到的时域离散序列的FT之间的转换关系！（无比重要）

采样得到的模拟信号的傅里叶变换和模拟信号的FT之间:

序列x(n)的FT----X(e jω)与模拟信号xa(t)的FT----Xa(jΩ)之间的关系为：

序列的FT（就是DTFT）和模拟信号的FT之间的关系，与采样信号和模拟信号的FT之间关系是一样的，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系为ω=ΩT，Ω等于2Πf，折叠频率的地方就是f等于采样频率的一半的地方代入进去，延拓周期w = 2Π，其实也就是DTFT的第一条性质：以2Π为周期！

d)到这里，我们就可以接着讲讲DFT了，也就是由于FFT（快速傅里叶变换）而发展起来的一个“好东西”！

直接给出两条物理意义吧;

1)N 点DFT是序列的DTFT在[0 2Π]上面N点等间隔采样！（这点最重要）

2)N点DFT是序列的Z变换，在单位圆上的N点等间隔采样！

2）折叠频率

这里给出一个对应关系的截图就好：（模拟频率与数字频率对应关系）

只需要补充一点：对于DFT而言（就是FFT），其频谱会关于N/2对称（由上面的物理意义，很好理解的吧），这里的N/2也是折叠频率的地方

是对应原DTFT的Π的位置（第N/2个采样点嘛），所以就会有对应f = Fs/2....对应 w = Π。

FFT 与matlab
1） fft(x(n),N)

（对于输入序列长度为N的序列，不填写N会默认N点DFT），出来的结果是【1：N】个点，就刚好是序列的DTFT的第一个主值序列，所以，为了观测方便，只需要显示范围为【1 ：N/2】个点就可以（我就很喜欢这么干！）；或者想要转换成双边谱去看，也是可以的，直接整体向左平移N个点，亦或者，ifftshift和fftshift执行的都是圆周位移的操作，移动一下位置去看嘛。