2.1
- \(\Vert f\Vert\geq 0\) obvious
- \(\Vert a-b\Vert=\Vert b-a\Vert\) by definition \(f\in\mathscr A\) then \(-f\in\mathscr A\)
- Triangle Inequality
\(\Vert a+b\Vert \leq \Vert a\Vert+\Vert b\Vert\)
By convexity in linear space \(\mathscr B\), \(\frac{a}{\Vert a\Vert+\Vert b\Vert}+\frac{b}{\Vert a\Vert+\Vert b\Vert}\in\mathscr A\)(as \(\frac{a}{\Vert a\Vert},\frac{b}{\Vert b\Vert}\in\mathscr A\)).
i.e. \(\frac{a+b}{\Vert a\Vert+\Vert b\Vert}\in\mathscr A\), which implies \(\Vert a+b\Vert\leq \Vert a\Vert+\Vert b\Vert\).
2.2
按照Theorem 1.2的证明方法，考虑某个\(f\)在\(\mathscr B\)中的\(\Vert f\Vert\)邻域与\(\mathscr A\)的intersection，也就是：
这个集合是close and bounded的，所以compact，normed linear space有Induced metric，所以可以用Theorem 2.5证.
2.3
证明\(L^4\)-norm的strictly convex，不知道有什么好的方法，我只会暴力展开然后用Young不等式之类的XD
2.4
画图可知，在这些涂红的区域内的best approximation是斜着交点中的一个
在剩下的地方实际上就是\((1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\)中的一个.
怎么思考呢？可以想象一个以当前点为中心的正方形不断变大，最后和圆相交，在涂红区域的首先是正方形的角相交，在这四个区域的点显然要相交的话肯定也就是和边界相交了.
实际上不知道是不是这样，可能得回头看一眼
2.5
感觉过程基本上就是2.1的，这个continuity condition好像就是前面提到的trick? 考虑-改+然后按照strictly convex，证明不如\(X(f_1-f_2)\)就可以吧.
2.6
使用Theorem 2.4，我们发现我们总能找出至少两个best approximation就行. 考虑\(\beta \sin^{2}x\)是\(f(x)=x\)的best approximation，不难看出\(\Vert x-\beta \sin^{2}x\Vert=\Vert x-(-\beta)\sin^{2}x\Vert\)， 另外\(\beta=0\)不可能是best approximation.
2.7
又是一个构造more than one best approximation的=
- 考虑\(f(x)=x^3\)，对\(y=x\)对称，所以其实任意折线我们都可以反射过去
2.8
several?
这种时候想象一下各种norm下面的单位圆.
- \(x+y+z=1\)这种就是\(1\)-norm下面的答案
- \(x=1\)这种就是\(\infty\)-norm下面的答案
- \(2\)-norm下面没有，因为\(2\)-norm是strictly convex的xD
2.9
Kinda hard problem
考虑有两个best approximation的点，我们最好是能靠nonconvex来做一个类似于\(x=\frac{1}{2}(a+b)\notin\mathscr A\) where \(a,b\in\mathscr A\)，这个时候就显然\(x\)有两个best approximation.
考虑not convex其实也有很多种，比较极端的比如一个convex set加一个孤立点. 我觉得这个题目重点在compact相关可以收敛之类的，构造一个好的数列.
设\(f(x)=\inf_{x\in\mathscr A}\Vert x-a\Vert\), 由于\(\mathscr A\)是compact的，所以\(f(x)\)在\(\mathscr B\)中处处well-defined（意思就是处处的值都能存在，这个显然）且finite(考虑Bounded)
考虑nonconvex我们可以找到\(f(a)=f(b)=0\)，且存在\(\theta\in(0,1)\) s.t. \(f(\theta a+(1-\theta)b)>0\). 考虑因为compact所以\(\mathscr A^C\) open，\(t=\theta a+(1-\theta)b\)附近的线段至少有一段是\(\notin \mathscr A\)的.
考虑从\(t\)对应的\(\theta_0\)向上向下找都至少能找到\(\in\mathscr A\)的点，也就是\(f(x)=0\)的点，不妨考虑设为\(\theta^-\)和\(\theta^+\)，考虑\(\theta_1=\sup_{\theta>\theta^{-}: \Vert x-(\theta^{-}a+(1-\theta^{-})b)\Vert\leq \Vert x-\alpha \Vert,\forall \alpha\in\mathscr A}\theta\). 由于\(f(\theta^{+}a+(1-\theta^{+})b)=0\), 得 \(\theta_{1}\leq\theta^{+}\). 由于存在上界，也就是说在\(\theta_1\)处已经可以找到另一个\(\alpha\in\mathscr A\) s.t. \(\alpha\) is also best approximation of \(\theta_{1}a+(1-\theta_{1})b\), which completes the proof.
不知道进一步这个investigate该怎么做？
2.10
因为\(\mathscr A\)是strictly convex，所以任意两\(\mathscr L(a)\)不交.
Suppose \(x,y\in\mathscr L(a)\), then for any \(\theta\in(0,1)\)
考虑triangle inequality和normed linear space，\(\Vert t-a\Vert\leq \theta\Vert x-a\Vert+(1-\theta)\Vert y-a\Vert\). 我猜大概应该是这个norm也得convex?