给出 \(N\)，求：
\[\sum _ {i = 1} ^ N \sum _ {j = 1} ^ N \sum _ {p = 1} ^ {\lfloor\frac{N}{j}\rfloor} \sum _ {q = 1} ^ {\lfloor\frac{N}{j}\rfloor} [\gcd(i, j) = 1][\gcd(p, q) = 1].
\]
考虑化简。存在一个性质，但是我当时推的时候忘记了。即：
\[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}^N[\gcd(j,k)=i]=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{N}{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{N}{i}\rfloor}[\gcd(j,k)=1].
\]
然后回到上式，可化简为：
\[\sum_{i=1}^N\sum_{p=1}^N\sum_{q=1}^N[\gcd(i,p,q)=1].
\]
卷积展开得：
\[\sum_{d=1}^N\mu(d){\lfloor\dfrac{N}{d}\rfloor}^3.
\]
因为数据范围很大，所以用杜教筛 + 数论分块求解。