二维空间中的转动
质心
我们想要同时研究不止一个质点的运动学。在质点系的运动学里，除了牛顿定律的组合以外，没有任何新的东西。
当我们把一串木块抛到空中时，尽管每个木块都将做着复杂的运动，但我们能大概描绘出整串木块沿抛物线运动。那究竟是什么在沿着抛物线运动？对每个质点应用牛顿第二定律，有\(F_i =m_ia_i=m_i\dfrac{d^2 r_i}{d t^2}\)。那么对于所有质点累加得\(F=\sum\limits_{i}\dfrac{d^2(m_ir_i)}{d t^2}=\dfrac{d^2(\sum\limits_{i}m_ir_i)}{d t^2}\)。根据牛顿第三定律，内力在相加后全部抵消，等式左侧即为合外力。\(\sum\limits_{i}m_ir_i\)是一个矢量，因此总存在一个矢量\(R\)满足\(MR=\sum\limits_{i}m_ir_i\)。因此\(F=\dfrac{d^2(MR)}{dt^2}=M\dfrac{d^2R}{dt^2}\)始终成立。这表明，存在一个数学上可以定义的“平均位置”\(R\)，使得外力始终等于总质量与该“假象点的加速度”的乘积。我们把这个点称为“质心”。它是各质点位置矢量关于质量的加权平均值（容易发现它一定在所有质点的包络内）。当我们研究物体整体的运动轨迹时，只需研究质心的运动轨迹。
刚体的转动
根据伽利略变换，质点系中的每个质点的运动都可以分解为相对于质心的运动与质心本身运动的叠加。因此质心的运动可以与“物体内部”的运动分开来处理。
我们首先研究刚体，即质点系内所有质点的相对位置都不会改变的物体。当我们固定一根轴以后，观察其中一个质点的运动。容易发现，这个质点的运动就能决定整个物体的运动。假设这个质点的运动始终在某个垂直于轴的平面内，就称刚体绕固定轴做平面转动，或在二维空间中的转动。这个转动只需要“角度\(\theta\)随时间\(t\)的变化”这一个函数来描述。
我们将会发现，一维位移和二维转动很多时候可以类比。这种相似性源于物理方程的数学结构上的同构性。我们类似地定义角速度（类比速度）\(\omega = \dfrac{d\theta}{dt}\)，角加速度（类比加速度）\(\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}\)。
假设刚体发生了很小的二维转动\(d\theta\)。假设此时某质点位于\((x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\)，那么对\(\theta\)求导可以得到\(d x = -yd \theta,\)\(d y = xd \theta\)。对\(t\)求导可得\(v_x = -\omega r\sin\theta=-\omega y,\)\(v_y = \omega r \cos \theta=\omega x\)。那么有\(v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = wr\)。
现在我们研究力与转动的关系。我们想要类比线性运动，找到某个量，使得它和转动的关系就像力对线性运动的关系那样。我们知道定性地，是力让刚体发生了扭转。而如何定量描述这种转矩（torque）？定义力的一个最好的办法就是看在力的作用下通过某一给定的位移时，它做了多少功。为了保持线性运动和角运动的各个量之间的对应关系，我们就令转矩乘以角度的微元等于力乘以位移的微元。那么得到\(dW=F_xdx+F_ydy=F_x(-yd\theta)+F_y(xd\theta) = (xF_y-yF_x)d\theta\)。所以这个“奇特的项”就定义为转矩\(\tau = xF_y-yF_x\)。
我们知道从做功的角度\(dW = F_{切}\cdot ds\)，而经过我们的定义这又等于\(\tau \cdot d\theta\)。因此\(\tau = \dfrac{F_{切}\cdot ds}{d\theta}=\dfrac{F_{切}\cdot rd\theta}{d\theta}=F_{切}\cdot r\)。即转矩等于力的切向分量乘以半径。这是我们理解转矩的第二个角度。还有第三个角度。由于\(F_{切}\)可以表示成\(F\sin \alpha\)，其中\(\alpha\)力与位置矢量的夹角，我们在\(F\sin \alpha \cdot r\)中把\(\sin\alpha\)分配给\(r\)，就得出转矩等于力乘以转轴到力的作用线的垂直距离。这个距离称为“力臂”。对于同样的\(F\)，力臂越大转矩越大。力对转动的作用效果取决于力臂的长度，也就是力与转动方向的夹角。如果沿径向，就没有转动效果。如果沿切向，转动效果最大。
角动量
转矩的这种数学性质即使对非刚体也是有意义的。我们在我们的转矩定义的基础上，使它和线性运动的“动量定理”类比。力等于动量关于时间的变化率。因此我们寻找转矩关于时间的积分。由此发现，\(m(x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt})\)对\(t\)求导刚好等于\(m(\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dy}{dt}+x\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dx}{dt}-y\dfrac{d^2x}{dt^2})=m(x\dfrac{d^2y}{dt^2}-y\dfrac{d^2x}{dt^2})=xF_y-yF_x\)。我们就把这一项称为“角动量”，并记为\(L\)。角动量关于时间的变化率等于力矩。
把角动量写成分量的线性运动动量的形式\(L=xp_y-yp_x\)。我们发现这个结构和转矩的结构是完全相同的，因此也可以从切向分量以及力臂的角度看：角动量等于动量的切向分量与半径的乘积；等于动量与“动量臂”的乘积。
例如，行星在万有引力作用下，取引力中心为转轴（值得注意的是转矩和角动量的值都是依赖于转轴的选取的）转矩始终为0。因此行星的角动量守恒。从动量切向分量的角度来看，角动量恰好反应了单位时间行星半径扫过的面积。因此开普勒第二定律正是角动量守恒的一种文字表述。
转动惯量
对于质点系，我们把每个质点的角动量定理方程累加。内力产生的转矩为互相抵消，因此总转矩就等于外转矩。由此可知，质点角动量之和的变化率等于外转矩。
对于做平面转动的刚体来说，速度方向始终是切向的。因此每个质点的角动量就等于\(mvr=m\omega r^2\)。由此可得总的角动量\(L = \omega\sum\limits_{i}m_ir_i^2\)。其中\(\sum\limits_{i}m_ir_i^2\)只由刚体本身的“形状”来决定，我们把它记为\(I\)。于是，刚体的角动量\(L=I\omega\)可以类比一维运动的动量\(p=mv\)。所以我们把\(I\)称为刚体的转动惯量，它的大小反应刚体阻碍转动的惯性的量。要使角动量发生一定的变化，即当我们施加一定的力的时候，转动惯量越大，角动量的变化量越小。从式中也可以发现，同样质量的刚体，如果其质量分布离轴越远，其转动惯量也就越大。