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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

相反向量

我们规定，与向量\(\vec{a}\)长度相等，方向相反的向量，叫做\(\vec{a}\)的相反向量，记作\(-\vec{a}\).
解释
(1) 与数\(x\)的相反数是\(-x\)类似；
(2) \(-(-\vec{a})=\vec{a}\);
(3) 零向量的相反向量仍是零向量.
 

向量的减法

向量\(\vec{a}\)加上\(\vec{b}\)的相反向量，叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的差，即 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)，
求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法进行.
 

向量减法的几何意义

当\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)同起点时， \(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量.

解释
设 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\) ， \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{O D}=-\vec{b}\) ，连接\(AB\)，
由向量减法的定义知，\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O C}\)
在四边形\(OCAB\)中，\(OB=CA\)，\(OB||CA\)，
所以\(OCAB\)是平行四边形，所以 \(\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O C}=\vec{a}-\vec{b}\).

 

【例】 如下图，已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，作向量\(\vec{a}-\vec{b}\).

解 在平面内任取一点\(O\)，作 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\) ， \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\) ，则 \(\overrightarrow{B A}=\vec{a}-\vec{b}\).

 

基本方法

【题型1】 向量的减法

【典题1】 如图所示，\(O\)是四边形\(ABCD\)内任一点，试根据图中给出的向量，确定\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，\(\vec{d}\)的方向(用箭头表示)，使\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{B A}\)， \(\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{D C}\)，并画出\(\vec{b}-\vec{c}\)和\(\vec{a}+\vec{d}\)．

解析 因为\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{B A}\)， \(\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{D C}\)，
所以 \(\vec{a}=\overrightarrow{O A}\)，\(\vec{b}=\overrightarrow{B O}\)， \(\vec{c}=\overrightarrow{O C}\)， \(\vec{d}=\overrightarrow{O D}\)．
如图所示，作平行四边形\(OBEC\)，平行四边形\(ODFA\)．
根据平行四边形法则可得：\(\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{E O}\)，\(\vec{a}+\vec{d}=\overrightarrow{O F}\)．

点拨 向量的加法，注意三角形法则或平行四边形法则的运用；向量的减法，注意其几何意义： \(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量.
 

【典题2】化简：(1) \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B})+(-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{M O})\)；
(2) \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D})-(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D})\)．
解析 (1)方法1：原式 \(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O M}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O})+(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M B})=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\)．
方法2：原式 \(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O})+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O M}\)
\(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A B}\).
(2) 方法1：原式 \(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})+(\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C A})\)\(=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}\)．
方法2： \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D})-(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})-\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B D}\)
\(=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{0}\)．
点拨 向量线性运算，注意运算法则的运用，减法可以先化为加法，“首尾相接法”的运用也会使得解题过程很简便.
 

【典题3】已知\(∆ABC\)是正三角形，则下列等式中不成立的是(　　)
 A. \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(|\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|\)
 C. \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\)
解析 对于\(A\)，因为\(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A C}|\)， \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}|\)，
所以 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|\)，故正确；
对于\(B\)，因为 \(|\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{A B}|\)， \(|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|=2|\overrightarrow{B D}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|\)(\(D\)为\(AC\)的中点)，故错误；
对于\(C\)，因为 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=2|\overrightarrow{A E}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|\)(\(E\)为\(BC\)的中点)，
\(|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|=2|\overrightarrow{C F}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|\)(\(F\)为\(AB\)的中点)，
所以 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\)，故正确；
对于\(D\)，因为 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{0}|=0\)， \(|\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}|=|\overrightarrow{0}|=0\)，
所以 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}|\)，故正确.
故选\(B\).

 

【巩固练习】

1.下列四个式子中可以化简为\(\overrightarrow{A B}\)的是 (　　)
① \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}\) ② \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C B}\) ③ \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}\) ④ \(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\)．
 A．①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．③④
 

2.如图，\(D\)、\(E\)、\(F\)分别是边\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)上的中点，则 \(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B E}=\) (　　)

 A． \(\overrightarrow{0}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{BC}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\overrightarrow{BE}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{A F}\)
 

3.如图，在\(△ABC\)中，点\(D\)为\(AC\)上一点，则 \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=\)　(　　)

 A．\(\overrightarrow{A C}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\overrightarrow{B C}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\overrightarrow{A B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{D C}\)
 

4.如图，在四边形\(ABCD\)中，根据图示填空：

\(\vec{a}+\vec{b}=\) \(\underline{\quad \quad}\)， \(\vec{b}+\vec{c}=\) \(\underline{\quad \quad}\)， \(\vec{c}-\vec{d}=\) \(\underline{\quad \quad}\)， \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
 

5.化简：(1) \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}\)；(2) \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D})+(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D E})-(\overrightarrow{E F}-\overrightarrow{E A})\)．
 
 

6.如图所示，已知 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{O C}=\vec{c}\)， ⃗， \(\overrightarrow{O F}=\vec{f}\)，试用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，\(\vec{d}\)，\(\vec{f}\)表示下列向量．
(1) \(\overrightarrow{A C}\)；(2) \(\overrightarrow{A D}\)；(3) \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}\)；(4) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C F}\)；(5) \(\overrightarrow{B F}-\overrightarrow{B D}\)．

 
 
 

参考答案

1. 答案 \(A\)
   解析 ①\(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}\)； ② \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C B} \neq \overrightarrow{A B}\)；
   ③ \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} \neq \overrightarrow{A B}\)； ④ \(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A B}\)．
   故选：\(A\)．

2. 答案 \(A\)
   解析 \(∵D\)、\(E\)、\(F\)分别是边\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)上的中点，
   故四边形\(ADEF\)为平行四边形，且\(EF=BE\)，
   故 \(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{D F}-\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{D F}-\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{0}\)，
   故选：\(A\)．

3. 答案 \(A\)
   解析 \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A C}\)，故选：\(A\)．

4. 答案 \(-\vec{e}， \vec{f}， \overrightarrow{0}\)．
   解析 \(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A C}=-\vec{f}\)， \(\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{B D}=-\vec{e}\)，
   \(\vec{c}-\vec{d}=\vec{c}+(-\vec{d})=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{C A}=\vec{f}\)，
   \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}\)．

5. 答案 (1) \(\overrightarrow{0}\)，(2) \(\overrightarrow{FE}\).
   解析 (1) \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{0}\)．
   (2) \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D})+(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D E})-(\overrightarrow{E F}-\overrightarrow{E A})=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E})-\overrightarrow{A F}\)
   \(=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C E}-\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F E}\)．

6. 答案 (1) \(\vec{c}-\vec{a}\)；(2) \(\vec{d}-\vec{a}\)；(3) \(\vec{d}-\vec{b}\)；(4) \(\vec{b}-\vec{a}+\vec{f}-\vec{c}\)；(5) \(\vec{f}-\vec{d}\)．
   解析 (1) \(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=\vec{c}-\vec{a}\)；
   (2) ；\(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}=\vec{d}-\vec{a}\)
   (3) \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O B}=\vec{d}-\vec{b}\)；
   (4) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O C}=\vec{b}-\vec{a}+\vec{f}-\vec{c}\)；
   (5) \(\overrightarrow{B F}-\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O D}=\vec{f}-\vec{d}\)．
    

【题型2】 向量减法的运用

【典题1】在平行四边形\(ABCD\)中，若 \(|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|\)，则平行四边形\(ABCD\)是(　　)
 A．矩形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．梯形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．正方形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．菱形
解析 由\(|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|\)，得 \(|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{A C}|\)，即\(DB=AC\)，
对角线相等的平行四边形是矩形，故选\(A\).

点拨 遇到向量的加法，可想到三角形法则或平行四边形法则的运用；遇到向量的减法，注意其几何意义： \(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量.
 

【典题2】在边长为\(1\)的正三角形\(ABC\)中，\(|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 过点\(A\)作\(AD||BC\)，使得\(AD=BC\)，则四边形\(ABCD\)是平行四边形，
则 \(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}\)，
\(∵∆ABC\)是边长为\(1\)的正三角形，易得\(B D=\sqrt{3}\)，
\(\therefore|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{D B}|=\sqrt{3}\)．
故答案为： \(\sqrt{3}\)．

点拨 通过构造平行四边形进行分析，把平面向量与平面几何结合在一起.
 

【巩固练习】

1.在菱形\(ABCD\)中，\(∠DAB=60^∘\)，\(|\overrightarrow{A B}|=2\)，则 \(|\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{D C}|=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
 

2.\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是两个非零向量，且\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)，则\(\vec{a}\)与 \(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

3.若非零向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|=2\)，则 \(|\vec{a}|\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)， \(|\vec{a}-\vec{b}|\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

4.\(P\)是\(△ABC\)所在平面上一点，满足 \(|\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P C}|-|\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}-2 \overrightarrow{P A}|=0\)，则\(△ABC\)的形状是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

参考答案

1. 答案 \(2\)
   解析 画出图形，如图所示；
   菱形\(ABCD\)中，\(∠DAB=60^∘\)， \(|\overrightarrow{A B}|=2\)，
   \(∴∆ABD\)是等边三角形，\(∴BD=2\)，
   \(\therefore|\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{D C}|=|\overrightarrow{B D}|=2\)．
   故答案为：\(2\)．
   

2. 答案 \(30^∘\)
   解析 如图所示：设 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\)，则 \(\overrightarrow{B A}=\vec{a}-\vec{b}\)，
   以\(OA\)、\(OB\)为邻边，作平行四边形\(OACB\)，
   则\(\overrightarrow{O C}=\vec{a}+\vec{b}\)，\(∠AOC\)为\(\vec{a}\)与 \(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角．
   由 \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|，\)，可得\(△OAB\)为等边三角形，
   故平行四边形\(OACB\)为菱形，
   \(∴∠AOC=30^∘\).
   

3. 答案 \((0，4]\)， \((2，6]\).
   解析 (1)因为 \(|| \vec{a}+\vec{b}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}|=|\vec{a}+\vec{b}-\vec{b}| \leq|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{b}|=4\)，
   又 \(|\vec{a}|\)是非零向量，
   所以 \(|\vec{a}|\)的取值范围是\((0，4].\)
   (2)因为 \(|\vec{a}-\vec{b}|+|\vec{a}+\vec{b}| \geqslant 2|\vec{b}|=|(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})| \geqslant|| \vec{a}-\vec{b}|-| \vec{a}+\vec{b}||\)，
   所以 \(-4 \leq|\vec{a}-\vec{b}|-|\vec{a}+\vec{b}| \leq 4\)， \(|\vec{a}-\vec{b}|+|\vec{a}+\vec{b}| \geqslant 4\)，
   又\(|\vec{a}+\vec{b}|=2\)， \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}\)，所以\(|\vec{a}-\vec{b}|\)的取值范围是\((2，6]\).

4. 答案 直角三角形
   解析 \(P\)是\(△ABC\)所在平面上一点，且\(|\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P C}|-|\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}-2 \overrightarrow{P A}|=0\)，
   \(\therefore|\overrightarrow{C B}|-|(\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P A})+(\overrightarrow{P C}-\overrightarrow{P A})|=0\)，即 \(|\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|\)，
   \(\therefore|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A B}|\)，
   由三角形法则与平行四边形法则可知 \(\overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{A B}\)，
   \(∴∠A=90^∘\)，
   则\(△ABC\)是直角三角形．
    

分层练习

【A组---基础题】

1.若非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)互为相反向量，则下列说法错误的是(　　)
 A． \(\vec{a} \| \vec{b}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\vec{a} \neq \vec{b}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(|\vec{a}| \neq|\vec{b}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\vec{b}=-\vec{a}\)
 

2.下列各式中不能化简为\(\overrightarrow{AD}\)的是(　　)
 A． \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D C})-\overrightarrow{C B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{A D}-(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D C})\)
 C． \(-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{M C})-(\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{B M})\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(-\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{M B}\)
 

3.如图，\(ABCD\)的对角线交点是\(O\)，则下列等式成立的是(　　)

 A． \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}\)
 C． \(\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{C D}\)
 

4.如图，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)是平面上的任意四点，下列式子中正确的是(　　)

 A． \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D A}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}\)
 C． \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{B A}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}\)
 

5.(多选)化简以下各式，结果为零向量的是(　　)
 A． \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{C D}\)
 C． \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{N Q}+\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{M N}-\overrightarrow{M P}\)
 

6.梯形\(ABCD\)中，\(AB∥DC\)，\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\)，则 \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C O}=\) \(\underline{\quad \quad}\)．

 

7.若两个非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=2|\vec{a}|\)，则向量\(\vec{a}\)与 \(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

8.已知\(|\overrightarrow{A B}|=2\)， \(|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=1\). 则\(|\overrightarrow{A C}|\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\)，最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
 

9.如图，已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，求作向量 \(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\)．

 
 

10.如图，在\(△ABC\)中，\(D\)，\(E\)分别为\(AC\)，\(BC\)边上任意一点，\(O\)为\(AE\)，\(BD\)的交点，已知\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{B D}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{B E}=\vec{c}\)， \(\overrightarrow{O E}=\vec{e}\)，求向量\(\overrightarrow{O D}\)．

 
 

11.如图，在矩形\(ABCD\)中， \(|\overrightarrow{A D}|=4 \sqrt{3}\)， \(|\overrightarrow{A B}|=8\)．设\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{B C}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{B D}=\vec{c}\)，求 \(|\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}|\)．

 
 

12.如图所示，\(O\)为\(△ABC\)的外心，\(H\)为垂心，求证 \(\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\).

 
 

参考答案

1. 答案 \(C\)
   解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知 \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)．

2. 答案 \(D\)
   解析 \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D C})-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}\)，\(A\)错误；
   \(\overrightarrow{A D}-(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D C})=\overrightarrow{A D}\)，\(B\)错误；
   \(-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{M C})-(\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{B M})=\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A D}\)，\(C\)错误；
   \(-\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{A D}\)，\(D\) 正确．
   故选：\(D\)．

3. 答案 \(D\)
   解析 由向量加减的运算可得 \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}\)，
   又 \(R \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}\)，故 \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{C D}\)，
   故选：\(D\)．

4. 答案 \(B\)
   解析 \(\because \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}\)， \(\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}\)，
   \(\therefore \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}\)， \(\therefore \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}\)．
   故选：\(B\)．

5. 答案 \(ABCD\)
   解析 对选项\(A\)， \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}\)，所以选项\(A\)正确，
   对选项\(B\)， \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})-(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D})=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{0}\)，
   所以选项\(B\)正确，
   对选项\(C\)， \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A D})-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}\)，所以选项\(C\)正确，
   对选项\(D\)， \(\overrightarrow{N Q}+\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{M N}-\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{N M}-\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{0}\)，所以选项\(D\)正确，
   故选：\(ABCD\)．

6. 答案 \(\overrightarrow{0}\)
   解析 \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}\)．

7. 答案 \(60°\).
   解析 \(\because|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)，\(∴\)如图，以\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为邻边的平行四边形的对角线相等，
   所以此平行四边形是矩形， \(\therefore \angle A O B=90^{\circ}\)，
   \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{O C}=\vec{a}+\vec{b}\)，
   由题意， \(∴∠AOC=60^∘\)，\(∴∠AOC=60^∘\)，
   即向量\(\vec{a}\)与\(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角为\(60°\).
   

8. 答案 最大值是\(3\)，最小值是\(1\).
   解析 因为\(|\overrightarrow{A B}|=2\)， \(|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=1\)，
   所以 \(|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})| \leq|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=3\)，当且仅当\(\overrightarrow{A B}\)与 \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\)，即\(\overrightarrow{A B}\)与\(\overrightarrow{BC}\)方向相同时取到等号；
   \(|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})| \geq|\overrightarrow{A B}|-\mid \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=1\)，当且仅当\(\overrightarrow{A B}\)与 \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\)，即\(\overrightarrow{A B}\)与\(\overrightarrow{BC}\)方向相反时取到等号；
   所以\(|\overrightarrow{A C}|\)的最大值是\(3\)，最小值是\(1\).

9. 答案
   解析 在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\)，则 \(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{B A}\)，
   再作\(\overrightarrow{B C}=\vec{c}\)，则 \(\overrightarrow{C A}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\)．
   

10. 答案 \(\vec{e}-\vec{c}+\vec{b}\)
    解析 在\(△OBE\)中，有 \(\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{E B}=\vec{e}-\vec{c}\)；
    在\(△ABO\)中， \(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A}=\vec{e}-\vec{c}-\vec{a}\)；
    在\(△ABD\)中， \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\vec{a}+\vec{b}\)．
    因此在\(△OAD\)中， \(\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A D}=\vec{e}-\vec{c}-\vec{a}+\vec{a}+\vec{b}=\vec{e}-\vec{c}+\vec{b}\)．

11. 答案 \(8 \sqrt{7}\)
    解析 由已知可得 \(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}\)，
    又因为四边形\(ABCD\)为矩形，则\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}\)，
    则\(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D B}=2 \overrightarrow{D B}\)，
    在直角三角形\(ABD\)中， \(B D=\sqrt{A B^2+A D^2}=\sqrt{8^2+(4 \sqrt{3})^2}=4 \sqrt{7}\)，
    所以 \(|\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}|=2|\overrightarrow{D B}|=2 \times 4 \sqrt{7}=8 \sqrt{7}\)．

12. 证明 如图，作直径\(BD\)，连接\(DA\)，\(DC\)，
    
    则\(\overrightarrow{O B}=-\overrightarrow{O D}\)，\(DA⊥AB\)，\(CD⊥BC\)，
    \(∵H\)为垂心，\(∴CH⊥AB\)，\(AH⊥BC\)，
    \(∴CH∥DA\)，\(AH∥DC\)，
    \(∴\)四边形\(AHCD\)是平行四边形， \(\therefore \overrightarrow{A H}=\overrightarrow{D C}\)，
    又 \(\because \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\)，
    \(\therefore \overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\).
     

【B组---提高题】

1.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}|=1\)， \(|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=2\)，则 \(|\vec{a}+\vec{b}|=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

参考答案

1. 答案 \(\sqrt{6}\)
   解析 如下图，四边形\(ABCD\)是平行四边形，\(OE⊥AB\)，\(CF⊥AB\)，
   令\(\vec{a}=\overrightarrow{A B}\)， \(\vec{b}=\overrightarrow{B C}\)，则 \(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{A C}\)，
   则依题意得\(AB=1\)，\(BC=AC=2\)，
   \(∵CF⊥AB\)， \(\therefore A F=\dfrac{1}{2} A B=\dfrac{1}{2}\)， \(C F=\sqrt{A C^2-A F^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\)，
   又\(∵OE⊥AB\)，\(O\)是\(AC\)中点， \(\therefore O E=\dfrac{1}{2} C F=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\)， \(A E=\dfrac{1}{2} A F=\dfrac{1}{4}\)，
   \(\therefore B F=A B-A E=\dfrac{3}{4}\) \(\therefore O B=\sqrt{O E^2+B E^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)， \(\therefore B D=2 O B=\sqrt{6}\)，
   \(\therefore|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{B D}|=\sqrt{6}\).
   

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