积性函数-JZTXT

积性函数，若称数论函数 \(f(n)\) 为积性函数，则其需要满足以下性质：

\[\forall n \perp m ,f(nm)=f(n)\times f(m) \]

完全积性函数，若称数论函数 \(f(n)\) 为完全积性函数，则其需要满足以下性质：

\[\forall n,m, f(nm)=f(n)\times f(m) \]

下面我们说几个积性函数的例子：

\[\varepsilon(n)=[n=1] \]

也就是说这个函数只有在 \(n=1\) 时函数值才为 \(1\) 否则为 \(0\)。

这个函数显然为完全积性函数，我们来分个类：

\(n=1,m=1,\varepsilon(1\times 1)=\varepsilon(1)\times \varepsilon(1) \rightarrow 1=1\times 1 \rightarrow 1=1\)
\(n=1,m\ne 1,\varepsilon(m)=\varepsilon(1)\times \varepsilon(m) \rightarrow 0=1\times 0 \rightarrow 0=0\)
\(n\ne 1,m=1,\varepsilon(n)=\varepsilon(n)\times \varepsilon(1) \rightarrow 0=0\times 1 \rightarrow 0=0\)
\(n\ne 1,n\ne 1,\varepsilon(n \times m)=\varepsilon(n\times \varepsilon(m) \rightarrow 0=0\times 0 \rightarrow 0=0\)

以上证明了 \(\varepsilon(n)\) 为完全积性函数。

\[I(n)=1 \]

这个函数显然为完全积性函数：

\(n,m\in \mathbb{Z},I(n\times m)=I(n)\times I(m)\rightarrow 1=1\times 1 \rightarrow 1=1\)

以上证明了 \(I(n)\) 为完全积性函数。

\[id(n)=n \]

这个函数显然也是完全积性函数：

\(n,m\in \mathbb{Z} , id(n\times m)=id(n)\times id(m)\rightarrow n\times m=n\times m\)

以上证明了 \(id(n)\) 为完全积性函数。

\[id^k(n)=n^k \]

这个函数显然也是完全积性函数：

\(n,m\in \mathbb{Z},id^k(n\times m)=id^k(n)\times id^k(m)\rightarrow (n\times m)^k=n^k \times m^k \rightarrow n^k \times m^k=n^k\times m^k\)

以上证明了 \(id^k(n)\) 为完全积性函数。

\[\varphi(n)=n\prod_{p|n,p\in\mathbb{P}} (1-\frac{1}{p}) \]

这里我们引入一个定理：

若数论函数 \(f(n)\) 为积性函数，当且仅当：

\[f(n) = \prod_{p|n,p\in\mathbb{P}}g(p,\alpha(p)) \]

这里 \(\alpha(p)\) 为 \(n\) 的唯一分解式中质数 \(p\) 的指数。

所以根据这个定理 \(\varphi(n)\) 为积性函数。

\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k \]

我们再引入一个定理（约数和定理）：

\[\sigma_k(n)=\prod_{p|n,p\in\mathbb{Z}}(\sum_{i=0}^{\alpha(p)} p^{ik}) \]

所以根据我们上面介绍的两个定理可以推出 \(\sigma_k(n)\) 为积性函数。