教练让我学三周数论，然而数论多少还是无聊了点，所以浅学一下博弈论划划水。
（只是简单学了一下，不会记特别多。）
巴什博弈：
有两个聪明人玩游戏，有n个石子，两人轮流从这堆石子里取出一部分，每人一次可以取[1,m]个石子，最后不能拿的人输。两人都会选择最优策略的情况下，问：先手和后手谁赢？
当\(n<=m\)时，先手可以一次拿走所有的，先手胜。
当$n=m+1 $时， 无论先手怎么拿，后手都可以一次拿走所有的，后手胜。
当\(n=k*(m+1)\) $ $ $k\in Z $ 时,对于每个\(m+1\)个石子，先手取\(x\)个，后手一定可以一次将剩下的\(m+1-x\)个石子全部取走，后手胜。
当\(n=k*(m+1)+x\)且\(0<x<m+1\)时，先手第一步取走x个石子，接下来变成上一种情况，先手胜。
结论：
当n不能整除m+1时先手必定胜，能整除时后手必胜。
nim游戏：
nim游戏是对巴什博弈的升级。
有两个聪明人玩游戏，有\(n\)堆石子，第\(i\)堆有\(a[i]\)个，两人轮流取石子，每次每人可以选择一堆取任意多个石子，最后不能取的人输。两人都选择最优策略的情况下，问:先手和后手谁赢？
当\(n=1\)时，先手的人可以一次拿完，先手胜。
当\(n=2\)且\(a_1==a_2\)时,先手无论从一堆里取多少个，后手都可以选择在另一堆里取同样多个，最后后手胜。
当\(n=2\)且\(a_1!=a_2\)时,先手先在较多的那堆里取走\(|a_1-a_2|\)个，变成上一种情况。后手无论从一堆里取多少个，先手都可以再从另一堆里取同样多个，因此先手胜。
分析\(n=2\)时的两种情况，我们可以发现一个非常有用的策略，即选择在另一堆里取和对方相同数量的石子
当\(n<=3\) 时，情况变得复杂了起来。
先说结论：当\(a_1\)^ \(a_2\)^ \(a_3\)^\(……\) ^ \(a_n=0\)时，先手必败，反之先手必胜。
假设现在的局势时\(a_1\)^ \(a_2\)^ \(a_3\)^\(……\) ^ \(a_n=0\)，先手选择其中一堆，取k个石子。
局势就变成了\(a_1\)^ \(a_2\)^ \(a_3\)^\(……\) ^ \(a_n=k\),也可以写成\(a_1\)^ \(a_2\)^ \(a_3\)^\(……\) ^ \(a_n\)^\(k\) \(=0\)
设\(k\)二进制的最高位1在第\(x\)位，此时一定有奇数个 \(a_j\)二进制的第\(x\)位为1
此时后手选择其中一个\(a_j\)从中取出\(a_j\) ^ \(k\)个石子，使全局的异或和再次变成\(0\)，重复上述操作，后手一定能将局势变成：\(n=2\)且\(a_1==a_2\)的情况，后手必胜。
以后再记。