朴素的 DP 形式是定义 \(f_{i, j, A/B}\) 表示前 \(i\) 个元素选择了 \(j\) 个 \(A\) 的可达性. \(\mathcal O(n^2)\). 交换状态与值域, 定义 \(f_{i, A/B, A/B}\) 表示前 \(i\) 个元素中的最后一个元素 (即 \(i\)) 选择了 \(A/B\), 在最大化 \(A/B\) 的数量的目标下求得的 \(A/B\) 的数量.
转移在代码注释里, 答案倒着构造.
/**
* dp[i][A/B][A/B]: 前 i 个, 第 i 个选 A 还是 B, 最大化 A/B 的数量
* a[i] >= a[i-1]: dp[i-1][A][A]+1 -> dp[i][A][A]; dp[i-1][A][B] -> dp[i][A][B]
* a[i] >= b[i-1]: dp[i-1][B][A]+1 -> dp[i][A][A]; dp[i-1][B][B] -> dp[i][A][B]
* b[i] >= a[i-1]: dp[i-1][A][B]+1 -> dp[i][B][B]; dp[i-1][A][A] -> dp[i][B][A]
* b[i] >= b[i-1]: dp[i-1][B][B]+1 -> dp[i][B][B]; dp[i-1][B][A] -> dp[i][B][A]
*/
enum Element {A, B};
const int N = 1e6;
int n, a[N + 100], b[N + 100], f[N + 100][2][2];
char ans[N + 100];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(nullptr);
rd(n), rds(a, 2 * n) , rds(b, 2 * n);
rep (i, 1, 2 * n) {
if (a[i] >= a[i - 1]) {
chkmax(f[i][A][A], f[i - 1][A][A] + 1);
chkmax(f[i][A][B], f[i - 1][A][B]);
}
if (a[i] >= b[i - 1]) {
chkmax(f[i][A][A], f[i - 1][B][A] + 1);
chkmax(f[i][A][B], f[i - 1][B][B]);
}
if (b[i] >= a[i - 1]) {
chkmax(f[i][B][B], f[i - 1][A][B] + 1);
chkmax(f[i][B][A], f[i - 1][A][A]);
}
if (b[i] >= b[i - 1]) {
chkmax(f[i][B][B], f[i - 1][B][B] + 1);
chkmax(f[i][B][A], f[i - 1][B][A]);
}
}
int cnt[2] = {}, last = 1e9;
drep (i, 2 * n, 1) {
if (cnt[A] + f[i][A][A] >= n && cnt[B] + f[i][A][B] >= n && a[i] <= last) last = a[i], ans[i] = 'A', cnt[A]++;
else if (cnt[A] + f[i][B][A] >= n && cnt[B] + f[i][B][B] >= n && b[i] <= last) last = b[i], ans[i] = 'B', cnt[B]++;
else {
cout << "-1\n"; return 0;
}
}
copy_n(ans + 1, 2 * n, ostream_iterator<char>(cout, ""));
}